1/(sinx+cosx)的不定积分
时间: 2024-02-19 10:02:11 浏览: 74
这是一个比较复杂的积分,需要用到三角代换。
首先,我们可以把分母中的 $sinx+cosx$ 看作是一个整体,可以用 $\sqrt{2}sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ 来代替。
则原式可以变形为:
$$\int \frac{1}{\sqrt{2}sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}dx$$
接下来,我们进行三角代换,令 $t = x+\frac{\pi}{4}$,则有:
$$x=t-\frac{\pi}{4}$$
$$dx=dt$$
同时,我们可以利用三角恒等式将分母中的 $sin(t)$ 转化为 $cos(t)$:
$$\sqrt{2}sin(t)=\sqrt{2}sin(t)cos\frac{\pi}{4}+\sqrt{2}cos(t)sin\frac{\pi}{4}=cos(t)+sin(t)$$
代入原式,得到:
$$\int \frac{1}{cos(t)+sin(t)}dt$$
接下来,我们进行分式分解,将分母分解为 $(1+sin(t))cos(t)$,得到:
$$\int \frac{1}{(1+sin(t))cos(t)}dt$$
接下来,我们进行部分分式分解,假设原式可以表示为:
$$\int \frac{A}{1+sin(t)}dt+\int \frac{B}{cos(t)}dt$$
将上式通分,得到:
$$\frac{Acos(t)+B(1+sin(t))}{cos(t)(1+sin(t))}$$
与原式比较系数,得到:
$$A-B=1$$
$$B=1$$
解得 $A=2$。
因此,原式的不定积分为:
$$2ln|tan\frac{t}{2}|+ln|cos(t)|+C$$
将 $t$ 代回 $x$,得到:
$$2ln|\frac{tan\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}{\sqrt{2}}|+ln|\frac{cos(x)}{\sqrt{2}}|+C$$
其中,$C$ 为积分常数。