cos^2x/(sinx+cosx)的不定积分
时间: 2023-08-19 08:04:12 浏览: 199
这道题可以通过变形和分部积分来求解。
首先,我们可以将 cos^2x 分解为 1-sin^2x,得到:
∫cos^2x/(sinx+cosx)dx = ∫(1-sin^2x)/(sinx+cosx)dx
接下来,我们进行变量代换,令 u = sinx + cosx,那么有:
du/dx = cosx - sinx
dx = du/(cosx-sinx)
将 x 表示为 u 的函数,得到:
x = arctan((u-1)/sqrt(2)) + π/4
将 dx 代入原式中,得到:
∫cos^2x/(sinx+cosx)dx = ∫(1-sin^2x)/(sinx+cosx)dx
= ∫(1-u^2+2u-1)/(u*√2)du/(cosx-sinx)
= ∫(2u - u^2)/(u*√2)du/(cosx-sinx)
= 2√2∫(1-u)/(u^2-2u+2)du
接下来,我们进行分部积分,令 u^2-2u+2 = t,那么有:
du = (t-2)dt/(2u-2)
将 du 代入原式中,得到:
∫(1-u)/(u^2-2u+2)du = ∫(t-4)/(4(t-1))dt
= 1/4∫(t-1-3)/(t-1)dt
= 1/4∫(1+3/(t-1))dt
= 1/4(t+3ln|t-1|) + C
将 t 代回原式,得到:
∫cos^2x/(sinx+cosx)dx = 1/4(2sinx + 3ln|sinx+cosx|) + C
综上所述,cos^2x/(sinx+cosx)的不定积分为 1/4(2sinx + 3ln|sinx+cosx|) + C。