2sinx(cosx+1) = 2 · 2sin(x/2)cos(x/2) · 2[cos(x/2)]^2怎么来的
时间: 2024-04-18 07:03:47 浏览: 11
这个式子的化简可以用倍角公式和半角公式来实现。
首先,将 $2\sin x$ 分解为 $4\sin(x/2)\cos(x/2)$,得到:
$$2\sin x(\cos x+1)=4\sin(x/2)\cos(x/2)(\cos x+1)$$
然后,将 $\cos x+1$ 拆开,得到:
$$4\sin(x/2)\cos(x/2)(\cos x+1)=4\sin(x/2)\cos(x/2)(\cos^2(x/2)+\sin^2(x/2)+\cos(x/2)\sin(x/2))$$
接下来,将 $\cos^2(x/2)$ 替换为 $(1+\cos x)/2$,$\sin^2(x/2)$ 替换为 $(1-\cos x)/2$,得到:
$$\begin{aligned} 4\sin(x/2)\cos(x/2)(\cos^2(x/2)+\sin^2(x/2)+\cos(x/2)\sin(x/2))&=4\sin(x/2)\cos(x/2)\left(\frac{1+\cos x}{2}+\frac{1-\cos x}{2}+\cos(x/2)\sin(x/2)\right)\\&=4\sin(x/2)\cos(x/2)\left(1+\cos(x/2)\sin(x/2)\right)\\&=2\cdot2\sin(x/2)\cos(x/2)\cdot2[\cos(x/2)]^2\end{aligned}$$
因此,$2\sin x(\cos x+1)=2\cdot2\sin(x/2)\cos(x/2)\cdot2[\cos(x/2)]^2$,即 $2\sin x(\cos x+1)=2\cdot2\sin(x/2)\cos(x/2)\cdot[\cos(x/2)+\sin(x/2)]$,这就是所求的式子。