(x^3cosx+x^6sinx)dx
时间: 2023-11-10 12:05:37 浏览: 37
我们可以使用分部积分法来求解该积分。
令 $u = x^3$,$dv = \cos{x} dx$,则 $du = 3x^2 dx$,$v = \sin{x}$。
根据分部积分公式,有:
$$\int x^3\cos{x} dx = x^3\sin{x} - \int 3x^2\sin{x} dx$$
再令 $u = 3x^2$,$dv = \sin{x} dx$,则 $du = 6x dx$,$v = -\cos{x}$。
根据分部积分公式,有:
$$\int 3x^2\sin{x} dx = -3x^2\cos{x} + \int 6x\cos{x} dx$$
再令 $u = 6x$,$dv = \cos{x} dx$,则 $du = 6 dx$,$v = \sin{x}$。
根据分部积分公式,有:
$$\int 6x\cos{x} dx = 6x\sin{x} - \int 6\sin{x} dx$$
将上面的结果带回原式:
\begin{aligned}
\int (x^3\cos{x}+x^6\sin{x}) dx &= x^3\sin{x} - \int 3x^2\sin{x} dx + x^6\sin{x} \\
&= x^3\sin{x} - (-3x^2\cos{x} + \int 6x\cos{x} dx) + x^6\sin{x} \\
&= x^3\sin{x} + 3x^2\cos{x} - 6x\sin{x} + x^6\sin{x} + C
\end{aligned}
其中 $C$ 为积分常数。因此,原式的解为 $x^3\sin{x} + 3x^2\cos{x} - 6x\sin{x} + x^6\sin{x} + C$。