求不定积分(x^3cosx+x^6sinx)dx

我们可以使用逐步积分法来求解这个积分。

首先，我们对 $x^3 \cos x$ 进行积分：

$$\int x^3 \cos x dx = x^3 \sin x - 3x^2 \cos x + 6x \sin x - 6 \cos x + C_1$$

其中 $C_1$ 是常数。

接下来，我们对 $x^6 \sin x$ 进行积分：

$$\int x^6 \sin x dx = -x^6 \cos x + 6x^5 \sin x + 30x^4 \cos x - 120x^3 \sin x - 360x^2 \cos x + 720x \sin x - 720 \cos x + C_2$$

其中 $C_2$ 是常数。

最终，原积分为：

$$\int (x^3 \cos x + x^6 \sin x)dx = x^3 \sin x - 3x^2 \cos x + 6x \sin x - 6 \cos x - x^6 \cos x + 6x^5 \sin x + 30x^4 \cos x - 120x^3 \sin x - 360x^2 \cos x + 720x \sin x - 720 \cos x + C$$

其中 $C = C_1 + C_2$ 是常数。

相关问题

cos^2x/(sinx+cosx)的不定积分

这道题可以通过变形和分部积分来求解。

首先，我们可以将 cos^2x 分解为 1-sin^2x，得到：

∫cos^2x/(sinx+cosx)dx = ∫(1-sin^2x)/(sinx+cosx)dx

接下来，我们进行变量代换，令 u = sinx + cosx，那么有：

du/dx = cosx - sinx

dx = du/(cosx-sinx)

将 x 表示为 u 的函数，得到：

x = arctan((u-1)/sqrt(2)) + π/4

将 dx 代入原式中，得到：

∫cos^2x/(sinx+cosx)dx = ∫(1-sin^2x)/(sinx+cosx)dx

= ∫(1-u^2+2u-1)/(u*√2)du/(cosx-sinx)

= ∫(2u - u^2)/(u*√2)du/(cosx-sinx)

= 2√2∫(1-u)/(u^2-2u+2)du

接下来，我们进行分部积分，令 u^2-2u+2 = t，那么有：

du = (t-2)dt/(2u-2)

将 du 代入原式中，得到：

∫(1-u)/(u^2-2u+2)du = ∫(t-4)/(4(t-1))dt

= 1/4∫(t-1-3)/(t-1)dt

= 1/4∫(1+3/(t-1))dt

= 1/4(t+3ln|t-1|) + C

将 t 代回原式，得到：

∫cos^2x/(sinx+cosx)dx = 1/4(2sinx + 3ln|sinx+cosx|) + C

综上所述，cos^2x/(sinx+cosx)的不定积分为 1/4(2sinx + 3ln|sinx+cosx|) + C。

计算ln(1+1/sinx)/(tan2x*(2*x^2+3*x+e^(x*cos2x)))的不定积分

首先，将ln(1 1/sinx)拆分为ln(sin(x)-1)和-ln(sin(x))，得到：

ln(1 1/sinx) = ln(sin(x)-1) - ln(sin(x))

然后，将分母中的tan2x拆分为sin2x/cos2x，并将cos2x移动到分子中，得到：

ln(1 1/sinx)/(tan2x*(2*x^2 3*x e^(x*cos2x))) = ln(sin(x)-1)/(sin2x*2*x^2*cos2x) - ln(sin(x))/(sin2x*2*x^2*cos2x*3*x*e^(x*cos2x))

接下来，对于第一项，使用部分分式分解，将分母拆分为2*x^2和sin2x*cos2x，得到：

ln(sin(x)-1)/(sin2x*2*x^2*cos2x) = 1/(2*x^2) * (ln(sin(x)-1)/sin2x - ln(sin(x))/cos2x)

然后，对于第二项，使用代换u = x*cos2x，得到du/dx = cos2x - 2x*sin2x，从而dx = du/(cos2x - 2x*sin2x)，并将分母中的sin2x拆分为2*sinx*cosx，得到：

ln(sin(x))/(sin2x*2*x^2*cos2x*3*x*e^(x*cos2x)) = -1/(6*x^2) * ∫(e^u/((cos(x))^2 - u/2) du)

最后，将两个积分式合并，得到：

ln(1 1/sinx)/(tan2x*(2*x^2 3*x e^(x*cos2x))) = 1/(2*x^2) * (ln(sin(x)-1)/sin2x - ln(sin(x))/cos2x) - 1/(6*x^2) * ∫(e^(x*cos2x)/((cos(x))^2 - (x*cos2x)/2) dx)

这个积分式没有解析解，可以用数值积分方法求解。