求 根号(sinx)dx 的不定积分

这个积分比较复杂，需要进行一些特殊的处理。可以使用分部积分法来求解。

设 u = √(sinx)，v' = dx，则有：
v = x + C（常数C为积分常数）
u' = (cosx) / (2√(sinx))

根据分部积分公式，有：
∫ √(sinx) dx = uv - ∫ v du
= x√(sinx) - C - ∫ [(x+C)(cosx) / (2√(sinx))] dx

对于 ∫ [(x+C)(cosx) / (2√(sinx))] dx 这个积分，可以通过换元法来求解。令 t = √(sinx)，则有：
x = arcsin(t^2)，dx = 2t cos(arcsin(t^2)) dt = 2t dt

将 x 和 dx 用 t 表示后，原积分变为：
∫ [(x+C)(cosx) / (2√(sinx))] dx = ∫ [(arcsin(t^2)+C)(2t cos(arcsin(t^2))) / (2t)] dt
= ∫ [(arcsin(t^2)+C)cos(arcsin(t^2))] dt
= ∫ [t^2arcsin(t^2)+Ct] dt

最终的答案为：
∫ √(sinx) dx = x√(sinx) - C - ∫ [(arcsin(t^2)+C)cos(arcsin(t^2))] dt
= x√(sinx) - C - ∫ [t^2arcsin(t^2)+Ct] dt + C'
= x√(sinx) - √(sinx)cos(x) + 2∫ [t^2arcsin(t^2)] dt + C'

其中 C' 为新的常数。