1÷（sinx +cos)dx 的不定积分

这是一个比较复杂的积分，需要用到三角代换。

首先，我们可以把分母中的 $sinx+cosx$ 看作是一个整体，可以用 $\sqrt{2}sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ 来代替。

则原式可以变形为：

$$\int \frac{1}{\sqrt{2}sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}dx$$

接下来，我们进行三角代换，令 $t = x+\frac{\pi}{4}$，则有：

$$x=t-\frac{\pi}{4}$$

$$dx=dt$$

同时，我们可以利用三角恒等式将分母中的 $sin(t)$ 转化为 $cos(t)$：

$$\sqrt{2}sin(t)=\sqrt{2}sin(t)cos\frac{\pi}{4}+\sqrt{2}cos(t)sin\frac{\pi}{4}=cos(t)+sin(t)$$

代入原式，得到：

$$\int \frac{1}{cos(t)+sin(t)}dt$$

接下来，我们可以利用一个技巧，将分母中的 $cos(t)$ 分子分母都乘以 $cos(t)-sin(t)$，得到：

$$\int \frac{1}{cos^2(t)-sin^2(t)}\cdot\frac{cos(t)-sin(t)}{cos(t)-sin(t)}dt$$

化简后，得到：

$$\int \frac{cos(t)-sin(t)}{cos^2(t)-sin^2(t)}dt$$

接下来，我们进行分式分解，将分母分解为 $(cos(t)-sin(t))(cos(t)+sin(t))$，得到：

$$\int \frac{cos(t)-sin(t)}{(cos(t)-sin(t))(cos(t)+sin(t))}dt$$

化简后，得到：

$$\int \frac{1}{cos(t)+sin(t)}dt - \int \frac{1}{cos(t)-sin(t)}dt$$

这两个积分都可以利用三角代换来解决，具体过程略。

最终，原式的不定积分为：

$$ln|\frac{cos(x)+sin(x)}{cos(x)-sin(x)}|+C$$

其中，$C$ 为积分常数。