sinx的n次方求积分公式

对于正整数n，sin(x)^n的不定积分公式为：

∫ sin(x)^n dx = -1/n sin(x)^(n-1) cos(x) + (n-1)/n ∫ sin(x)^(n-2) dx

其中，∫ sin(x)^(n-2) dx 是 sin(x)^(n-2) 的不定积分。当n=1时，sin(x)^n 的不定积分为- cos(x) + C。

相关问题

Sinx的n次方求积分的递推公式的证明

我们需要证明：

$$\int \sin^n x dx = -\frac{1}{n}\sin^{n-1}x\cos x + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2}x dx$$

证明：

当$n=1$时，$\int \sin x dx = -\cos x +C$，式子成立。

假设当$n=k$时，式子成立，即

$$\int \sin^k x dx = -\frac{1}{k}\sin^{k-1}x\cos x + \frac{k-1}{k}\int\sin^{k-2}x dx$$

我们来证明当$n=k+1$时，式子也成立。

$$\int \sin^{k+1} x dx = \int \sin^k x \sin x dx$$

利用乘积法则，可以得到：

$$\int \sin^k x \sin x dx = -\frac{1}{k}(\sin^k x \cos x - k\int\sin^{k-1}x \cos x dx)$$

再将$\cos x$替换成$1 - \sin^2 x$，得到：

$$\int \sin^k x \sin x dx = -\frac{1}{k}\sin^k x \cos x + \frac{k}{k}\int\sin^{k-1}x dx - \frac{k}{k}\int\sin^{k+1}x dx$$

将式子移项，整理得到：

$$\int \sin^{k+1} x dx = -\frac{1}{k+1}\sin^kx\cos x + \frac{k}{k+1}\int\sin^{k-1}x dx$$

即

$$\int \sin^n x dx = -\frac{1}{n}\sin^{n-1}x\cos x + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2}x dx$$

由此，我们证明了递推公式的正确性。

我想知道0到pi/2上的sinx的n次方求积公式

当n为偶数时，0到π/2上的sin(x)的n次方求积公式为：

∫[0,π/2] sinⁿ(x) dx = (n-1)!! / n!!

其中，!!表示双阶乘，即n!! = n*(n-2)*(n-4)*...*2 (n为偶数时)，或者n!! =n*(n-2)*(n-4)*...*1 (n为奇数时)。

当n为奇数时，该积分无解析解。