对1/1+sinx求不定积分

我们可以将分母进行有理化，得到：

$$\frac{1}{1+\sin x}=\frac{1-\sin x}{\cos^2 x}$$

然后，我们将分式拆分为两个不定积分进行求解：

$$\int \frac{1}{1+\sin x}dx=\int \frac{1-\sin x}{\cos^2 x}dx=\int \frac{1}{\cos^2 x}dx-\int \frac{\sin x}{\cos^2 x}dx$$

对于第一个不定积分，我们可以利用余切函数的定义，得到：

$$\int \frac{1}{\cos^2 x}dx=\int \sec^2 x dx=\tan x+C_1$$

对于第二个不定积分，我们可以进行变量代换，令$u=\cos x$，则有：

$$\int \frac{\sin x}{\cos^2 x}dx=-\int \frac{du}{u^2}=\frac{1}{u}+C_2=-\frac{1}{\cos x}+C_2$$

因此，原不定积分为：

$$\int \frac{1}{1+\sin x}dx=\tan x-\frac{1}{\cos x}+C$$

其中，$C=C_1+C_2$为常数。

相关问题

利用matlab求不定积分sinxcox/1+sinx^4

在 MATLAB 中，可以使用符号计算工具箱来求解不定积分。具体操作如下：

1. 定义变量和函数：

syms x;
f = sin(x)*cos(x)/(1+sin(x)^4);

2. 求不定积分：

int(f, x)

运行结果为：

ans = (1/2)*atan((cos(x)^2 - 1)/(2*cos(x)^2))

因此，$\int \frac{\sin x\cos x}{1+\sin^4 x} \mathrm{d}x=\frac{1}{2}\tan^{-1}\left(\frac{\cos^2 x-1}{2\cos^2 x}\right)+C$，其中 $C$ 为常数。

1/（sinx+cosx)的不定积分

这是一个比较复杂的积分，需要用到三角代换。

首先，我们可以把分母中的 $sinx+cosx$ 看作是一个整体，可以用 $\sqrt{2}sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ 来代替。

则原式可以变形为：

$$\int \frac{1}{\sqrt{2}sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}dx$$

接下来，我们进行三角代换，令 $t = x+\frac{\pi}{4}$，则有：

$$x=t-\frac{\pi}{4}$$

$$dx=dt$$

同时，我们可以利用三角恒等式将分母中的 $sin(t)$ 转化为 $cos(t)$：

$$\sqrt{2}sin(t)=\sqrt{2}sin(t)cos\frac{\pi}{4}+\sqrt{2}cos(t)sin\frac{\pi}{4}=cos(t)+sin(t)$$

代入原式，得到：

$$\int \frac{1}{cos(t)+sin(t)}dt$$

接下来，我们进行分式分解，将分母分解为 $(1+sin(t))cos(t)$，得到：

$$\int \frac{1}{(1+sin(t))cos(t)}dt$$

接下来，我们进行部分分式分解，假设原式可以表示为：

$$\int \frac{A}{1+sin(t)}dt+\int \frac{B}{cos(t)}dt$$

将上式通分，得到：

$$\frac{Acos(t)+B(1+sin(t))}{cos(t)(1+sin(t))}$$

与原式比较系数，得到：

$$A-B=1$$

$$B=1$$

解得 $A=2$。

因此，原式的不定积分为：

$$2ln|tan\frac{t}{2}|+ln|cos(t)|+C$$

将 $t$ 代回 $x$，得到：

$$2ln|\frac{tan\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}{\sqrt{2}}|+ln|\frac{cos(x)}{\sqrt{2}}|+C$$

其中，$C$ 为积分常数。