详细解答一下(x-xcosx)/(sinx-xcosx)的不定积分
时间: 2024-06-06 17:07:49 浏览: 186
将分子和分母同时除以cosx,得到:
(x/cosx - 1)/(sinx/cosx - 1)
再令u = sinx/cosx,du/dx = 1/cosx,即dx = du/cosx
将原式转化为:
∫(x/cosx - 1)/(sinx/cosx - 1) dx
= ∫(x/cosx - 1)/(u - 1) cosx du
= ∫(x - cosx)/(u - 1) du
= ∫(x - cosx)/(sinx/cosx) du (因为u = sinx/cosx)
= ∫(x/cosx - 1)/tanx du
= ∫[x/(sinx + cosx) - 1/(sinx + cosx)]du
= ln|sinx + cosx| - x/(sinx + cosx) + C
其中C为常数。
相关问题
(x-xcosx)/(sinx-xcosx)的不定积分
我们可以将分母中的sinx提取出来,并利用三角恒等式将分子化简:
(x-xcosx)/(sinx-xcosx) = (x(1-cosx))/(sinx-xcosx) = (x(1-cosx))/(sinx(1-cosx)) = x/sinx
因此,原式的不定积分为:
∫(x-xcosx)/(sinx-xcosx) dx = ∫(x/sinx) dx = ∫(xsinx)/(sinx*cosx) dx
利用部分分数分解,我们可以将分母拆分为两个部分:
(xsinx)/(sinx*cosx) = x/cosx + xtanx
因此,原式的不定积分为:
∫(x-xcosx)/(sinx-xcosx) dx = ∫(x/sinx) dx = ∫(xsinx)/(sinx*cosx) dx = ∫(x/cosx + xtanx) dx
= ∫(x/cosx) dx + ∫(xtanx) dx
= ln|secx + tanx| + ln|cosx| - x + C
其中C为常数。
pycham根据泰勒公式求limx→0((sinx-xcosx/sinm³x))
### 回答1:
我可以回答这个问题。根据泰勒公式,sinx可以表示为x-x³/3!+x⁵/5!-...,cosx可以表示为1-x²/2!+x⁴/4!-...,将它们代入(sin x-xcos x)/sin³x中,得到limx→(x³/3!-x⁵/5!+x⁷/7!-...-1+x²/2!-x⁴/4!+...) / (x³(1-3!/5!x²+...)),化简后得到limx→(1/3!-x²/5!+...) / (1-3!/5!x²+...),再次化简后得到1/3,因此limx→((sinx-xcosx)/sin³x)的极限值为1/3。
### 回答2:
首先,我们将limx→0((sinx-xcosx/sinm³x))中的sinx-xcosx拆分成两部分,即sinx和-xcosx。
根据泰勒公式,我们可以将sinx和xcosx展开成它们的泰勒级数。
sinx的泰勒级数展开式为:sinx = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ...
xcosx的泰勒级数展开式为:xcosx = x - x³/2! + x⁵/4! - x⁷/6! + ...
将以上两个级数代入limx→0((sinx-xcosx/sinm³x))中,我们得到:
limx→0((sinx-xcosx/sinm³x)) = limx→0((x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ... - (x - x³/2! + x⁵/4! - x⁷/6! + ...)/(x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ...))) / sinm³x
根据极限的性质,我们可以将分子和分母的级数都展开到相同的阶数,即去掉高阶无穷小的项。
将以上步骤进行展开和简化后,我们得到:
limx→0((sinx-xcosx/sinm³x)) = limx→0((1/3! - 1/2!)x² + (1/5! - 1/4!)x⁴ + (1/7! - 1/6!)x⁶ + ... ) / sinm³x
由于m是一个常数,我们可以将limx→0((1/3! - 1/2!)x² + (1/5! - 1/4!)x⁴ + (1/7! - 1/6!)x⁶ + ... ) 简化为一个常数c。
最终我们得到:
limx→0((sinx-xcosx/sinm³x)) = c / sinm³x
综上所述,根据泰勒公式,我们可以将limx→0((sinx-xcosx/sinm³x))化简为c / sinm³x的形式,其中c是一个常数。
### 回答3:
首先,我们来回顾一下泰勒公式。泰勒公式是用来近似表示函数在某个点附近的值的方法。对于一个可导的函数 f(x),泰勒公式的一般形式为:
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + f'''(a)(x-a)³/3! + ...
其中 f'(a)、f''(a)、f'''(a) 分别表示函数 f(x) 在点 a 处的一阶、二阶和三阶导数。
接下来,我们根据泰勒公式求解题目中的极限。根据题目,我们需要计算的极限为:
lim(x→0) ((sinx - xcosx)/sin³x)
根据泰勒公式,我们可以近似将 sinx 和 cosx 展开为:
sinx ≈ x - (x³/3!) + (x⁵/5!) - ...
cosx ≈ 1 - (x²/2!) + (x⁴/4!) - ...
代入极限式中,得到:
lim(x→0) ((x - (x³/3!) + (x⁵/5!) - x(1 - (x²/2!) + (x⁴/4!) - ...))/(x³ - 3!(x⁵/5!) + ...))
将该极限式进行化简,得到最终结果为:
lim(x→0) (1/3)
所以,根据泰勒公式,求解题目中的极限为 1/3。
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