(sinx*lnx)/x怎么求不定积分
时间: 2024-03-31 11:34:48 浏览: 18
可以通过分部积分法来求解这个不定积分。具体的步骤如下:
设u = ln(x),dv = sin(x)/x dx,则du = 1/x dx,v = -cos(x)。
根据分部积分公式:∫u dv = u*v - ∫v du,将u和v代入得:
∫(sin(x)*ln(x))/x dx = -ln(x)cos(x) + ∫(cos(x)/x) dx
对于第二个积分,可以使用级数展开的方法求解:∫(cos(x)/x) dx = ∫(1 - x^2/2! + x^4/4! - ...) dx = sin(x) - xcos(x)/2! + x^3sin(x)/4! - ...
将这个结果代回原式,得到最终的不定积分为:
∫(sin(x)*ln(x))/x dx = -ln(x)cos(x) + sin(x) + C,其中C为积分常数。
注意,这个不定积分的求解过程和定积分的求解过程是一样的,只是最后结果中不需要指定积分区间。
相关问题
(sinx*lnx)/x怎么求定积分
这也是一个数学问题,属于定积分的计算。可以通过分部积分法来求解这个定积分。具体的步骤如下:
设u = ln(x),dv = sin(x)/x dx,则du = 1/x dx,v = -cos(x)。
根据分部积分公式:∫u dv = u*v - ∫v du,将u和v代入得:
∫(sin(x)*ln(x))/x dx = -ln(x)cos(x) + ∫(cos(x)/x) dx
对于第二个积分,可以使用级数展开的方法求解:∫(cos(x)/x) dx = ∫(1 - x^2/2! + x^4/4! - ...) dx = sin(x) - xcos(x)/2! + x^3sin(x)/4! - ...
将这个结果代回原式,得到最终的定积分为:
∫(sin(x)*ln(x))/x dx = -ln(x)cos(x) + sin(x) - xcos(x)/2! + x^3sin(x)/4! - ...
注意,这个定积分的区间需要根据具体情况来确定。
(sinx*cosx)/(sinx+cosx)的不定积分
这个积分可以通过换元法来求解,具体步骤如下:
令u = sin(x) + cos(x),则有du/dx = cos(x) - sin(x)
将u = sin(x) + cos(x)代入被积函数,则有:
sin(x)*cos(x)/(sin(x) + cos(x)) = (u^2 - 1)/2u
将被积函数中的sin(x)*cos(x)用(1/2)sin(2x)表示,得到:
(1/2) ∫ [(sin(2x)/(2u)) - (1/u)] dx
对于第一项,可以通过换元法来求解,令v = 2x,则有:
∫ (sin(2x)/(2u)) dx = (1/2) ∫ (sin(v)/u) dv = (1/2) ln|sin(v) + cos(v)| + C1
对于第二项,可以直接使用求导反函数的方法来求解,令f(u) = ln(u),则有f'(u) = 1/u,因此:
∫ (1/u) dx = ln|u| + C2 = ln|sin(x) + cos(x)| + C2
将两个结果合并,即可得到原积分的结果:
∫ (sin(x)*cos(x))/(sin(x) + cos(x)) dx = (1/2) ln|sin(2x) + 2cos(x)| - ln|sin(x) + cos(x)| + C
其中C为任意常数。