计算ln(1+1/x)/(sinx*(cos2x+1))的不定积分

首先，将被积函数中的分式部分拆分成两个分式：

ln(1+1/x) = ln(x+1) - ln(x)
cos(2x)+1 = 2cos^2(x)

因此，被积函数可以被写成：

ln(x+1)/(sin(x)cos^2(x)) - ln(x)/(sin(x)cos^2(x))

对于第一个分式，我们可以使用分部积分法来求解：

令 u = ln(x+1)，dv = 1/(sin(x)cos^2(x)) dx，则有：

du/dx = 1/(x+1)
v = -cot(x)

根据分部积分公式，有：

∫ ln(x+1)/(sin(x)cos^2(x)) dx = -ln(x+1)cot(x) + ∫ cot(x)/(x+1) dx

对于第二个分式，我们可以使用换元法来求解：

令 u = x，du/dx = 1，则有：

∫ ln(x)/(sin(x)cos^2(x)) dx = ∫ ln(u)/(sin(u)cos^2(u)) du

令 v = cos(u)，dv/dx = -sin(u)，则有：

∫ ln(u)/(sin(u)cos^2(u)) du = -∫ ln(u)/v^2 dv
= -∫ ln(u) d(1/v)
= -ln(u)/v + ∫ 1/(u*v) dv
= -ln(u)/cos(u) + ∫ sec(u)/u du

因此，原式可以被写成：

-ln(x+1)cot(x) + ∫ cot(x)/(x+1) dx - ln(x)/cos(x) + ∫ sec(x)/x dx

其中，第二个积分没有解析解，但可以使用数值积分方法进行求解。