详细解答一下(x-xcosx)/(sinx-xcosx)的不定积分

首先，观察被积函数的分母，我们可以把它变形为：

sinx - xcosx = sinx - sinx\*sin(\pi/2 - x) = sinx\*(1 - sin(\pi/2 - x))

接着，我们可以把被积函数的分子拆开：

x - xcosx = x\*(1 - cosx) = 2\*x\*sin^2(x/2)

所以，原式可以表示为：

$\int \frac{x(1-\cos x)}{\sin x(1-\sin(\pi/2-x))}dx=2\int\frac{x\sin^2(x/2)}{\sin x(1-\sin(\pi/2-x))}dx$

接下来，我们可以利用三角恒等式将分母中的 $\sin(\pi/2 - x)$ 转化为 $\cos x$，得到：

$2\int\frac{x\sin^2(x/2)}{\sin x(1-\cos x)}dx$

然后，我们可以使用部分分式分解的方法来求解这个积分。首先，将分母进行因式分解：

$1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$

把这个等式代入原式中，得到：

$2\int\frac{x\sin^2(x/2)}{\sin x(2\sin^2(x/2))}dx$

接着，我们可以将 $\sin^2(x/2)$ 移到分子中，得到：

$\int\frac{x}{\sin x}dx$

此时，我们可以利用分部积分法来求解这个积分。令 $u = x$，$dv = \csc x dx$，则有：

$du = dx$，$v = -\ln|\csc x + \cot x|$

代入公式，得到：

$\int\frac{x}{\sin x}dx = -x\ln|\csc x + \cot x| + \int \ln|\csc x + \cot x|dx$

最后一个积分无法直接求解，因此可以采用数值方法进行求解。至此，原式的不定积分求解完毕。