三角形ABC，AB=10，AC=10，BC=12，D是BC的中点，∠EDF=∠B，证明三角形BDF和三角形CED相似

首先连接AD，根据三角形的内角和定理可得∠A=60度。

则由正弦定理可得：

$\frac{sin\angle B}{10}=\frac{sin60^{\circ}}{12}$，解得 $sin\angle B=\frac{1}{2}$，所以 $\angle B=30^{\circ}$。

由中线定理可得$BD=\frac{1}{2}BC=6$，$CD=\frac{1}{2}BC=6$。

设 $\angle CED=\angle BDF=x$，则 $\angle CDE=180^{\circ}-2x$。

由正弦定理可得：

$\frac{CE}{sinx}=\frac{10}{sin(180^{\circ}-2x)}$，即 $CE=\frac{10sinx}{sin2x}$。

$\frac{BD}{sinx}=\frac{10}{sin(180^{\circ}-3x)}$，即 $BD=\frac{10sinx}{sin3x}$。

因为 $sin3x=sin(2x+x)=sin2xcosx+cos2xsinx=2sinxcos^{2}x+2cos^{2}xsinx=2sinx(cos^{2}x+cosx)=2sinx(cosx+1)(cosx-1)$，

所以 $\frac{BD}{CE}=\frac{sin3x}{sin2x}=\frac{2(cosx+1)(cosx-1)}{cosx}=2(\frac{cosx-1}{cosx})+2$。

又因为 $\angle ABD=\angle ACD=90^{\circ}$，所以 $\triangle ABD\cong\triangle ACD$，

于是 $AD=AD$，$BD=CD$，$\angle BAD=\angle CAD$，

因此 $\triangle ABD\cong\triangle ACD$。

因为 $\angle BDF=\angle EDC=30^{\circ}$，所以 $\triangle BDF\cong\triangle EDC$，

又因为 $\frac{BD}{CE}=\frac{2(cosx+1)(cosx-1)}{cosx}=2(\frac{cosx-1}{cosx})+2$，

所以 $\frac{BD}{CE}=2$。

因此，根据相似三角形的定义，$\triangle BDF\sim\triangle CED$。