求sinx/x²积分

### 回答1：
这是一个常见的积分，可以用分部积分法解决。

令u = sin(x)，dv = 1/x² dx，则du/dx = cos(x)，v = -1/x。

根据分部积分公式，积分结果为：

∫ sin(x)/x² dx = -sin(x)/x + ∫ cos(x)/x dx

再用一次分部积分法解决∫ cos(x)/x dx：

令u = cos(x)，dv = 1/x dx，则du/dx = -sin(x)，v = ln|x|。

根据分部积分公式，积分结果为：

∫ cos(x)/x dx = ln|x|cos(x) + ∫ sin(x)/x² dx

将该式代入前面的积分结果，得到：

∫ sin(x)/x² dx = -sin(x)/x + ln|x|cos(x) + C

其中C为常数。

### 回答2：
要求解积分∫(sinx/x²)dx，我们可以使用分部积分法。

首先，我们选取分部积分的式子，将∫(sinx/x²)dx写为∫(1/x²)(sinx)dx。然后，我们令u = 1/x² 和 dv = sinx dx。

对u = 1/x²求导得到du = (-2/x³)dx，对dv = sinx dx积分得到v = -cosx。

然后，根据分部积分公式∫u dv = uv - ∫v du，我们可以得到:

∫(1/x²)(sinx)dx = -cosx/x² + 2∫(cosx/x³)dx。

现在，我们需要解决∫(cosx/x³)dx 这个新的积分。我们可以使用再次利用分部积分法：

令u = cosx 和 dv = (1/x³)dx。

对u = cosx求导得到du = -sinx dx，对dv = (1/x³)dx积分得到v = -1/(2x²)。

根据分部积分公式∫u dv = uv - ∫v du，我们可以得到:

∫(cosx/x³)dx = -1/(2x²) cosx + 1/2 ∫(sinx/x²)dx。

现在，我们需要解决∫(sinx/x²)dx 这个新的积分。刚才的过程中我们已经把它写作了新的积分，所以我们可以继续使用分部积分法。

以相同的方式，令u = sinx 和 dv = (1/x²)dx。

对u = sinx求导得到du = cosx dx，对dv = (1/x²)dx积分得到v = -1/x。

根据分部积分公式∫u dv = uv - ∫v du，我们可以得到:

∫(sinx/x²)dx = -sinx/x - ∫(-cosx/x)dx = -sinx/x + ∫(cosx/x)dx。

现在，我们需要解决新的积分∫(cosx/x)dx。我们可以使用一种名为级数展开法来解决它。

将(cosx/x)展开为无限级数，我们可以得到：

(cosx/x) = 1 - (x²/2!) + (x⁴/4!) - (x⁶/6!) + ...

现在，我们可以对该级数展开式逐项进行积分，并且每一项的积分可以直接计算。最终，我们可以得到该级数的积分：

∫(cosx/x)dx = ∫(1 - (x²/2!) + (x⁴/4!) - (x⁶/6!) + ...)dx
= ln|x| + C。

将这个结果代回之前的等式中，我们可以得到最终的积分∫(sinx/x²)dx的解答：

∫(sinx/x²)dx = -sinx/x + ln|x| + C。

其中，C是常数。

### 回答3：
要求$f(x)=\frac{\sin x}{x^2}$的积分。

我们可以通过应用分部积分公式来计算该积分。分部积分公式的一般形式是：

$$\int u \, dv = u \, v - \int v \, du$$

首先，我们需要选择一个函数作为$u$和另一个函数作为$dv$。让我们选择$u=\frac{1}{x^2}$和$dv=\sin x \, dx$。

首先计算$du$和$v$。对$u$求导，得到$du=-\frac{2}{x^3} \, dx$。对$dv$积分，得到$v=-\cos x$。

现在我们可以应用分部积分公式：

$$\int \frac{\sin x}{x^2} \, dx = \frac{1}{x^2}(-\cos x) - \int (-\cos x) \left(-\frac{2}{x^3}\right) \, dx$$
$$= -\frac{\cos x}{x^2} + 2 \int \frac{\cos x}{x^3} \, dx$$

现在我们再次使用分部积分公式，选择$u=\frac{1}{x^3}$和$dv=\cos x \, dx$。计算$du$和$v$得到$du=-\frac{3}{x^4} \, dx$和$v=\sin x$。

将结果代入上面的等式中：

$$\int \frac{\sin x}{x^2} \, dx = -\frac{\cos x}{x^2} + 2 \left(\frac{1}{x^3} \sin x - \int \frac{\sin x}{x^4} \, dx\right)$$

我们可以继续重复这个过程，直到达到所需的准确度。然而，由于此处的演算变得冗长，我将节略。请注意，这是一个无穷级数的总和，并且可能没有一个简洁的解析表达式。

因此，$f(x)=\frac{\sin x}{x^2}$的积分可以表示为：

$$\int \frac{\sin x}{x^2} \, dx = -\frac{\cos x}{x^2} + 2 \left(\frac{1}{x^3} \sin x - \frac{2}{x^4}\cos x + \frac{6}{x^5}\sin x - \dots \right)$$