∫_0^1▒dy ∫_1^y▒(e^(-x^2 )+e^x sinx)dx交换积分次序
时间: 2023-11-13 12:45:33 浏览: 44
首先,我们需要画出积分区域的示意图:
![integral_region](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/ed4epgkm.png)
可以看出,积分区域为一个梯形区域,上底为 $y=1$,下底为 $y=x$,左侧边界为 $x=0$,右侧边界为 $x=y$。
接下来,我们可以根据积分区域重新设定积分限:
$$\int_0^1\int_1^y(e^{-x^2}+e^x\sin x)dx dy=\int_0^1\int_x^1(e^{-x^2}+e^x\sin x)dy dx$$
这里我们需要注意一下新的积分限的变化,$y$ 的下限变成了 $x$,上限变成了 $1$。
现在,我们可以按照新的积分顺序进行计算:
$$\int_0^1\int_x^1(e^{-x^2}+e^x\sin x)dy dx=\int_0^1\left[y\bigg|_x^1\cdot(e^{-x^2}+e^x\sin x)\right]dx=\int_0^1(e^{-x^2}+e^x\sin x-xe^{-x^2})dx$$
这里我们使用了分部积分法来计算 $xe^{-x^2}$ 的积分。最终的结果为:
$$\int_0^1(e^{-x^2}+e^x\sin x-xe^{-x^2})dx=\frac{\sqrt{\pi}}{4}+\frac{1}{2}\cos 1-\frac{1}{2}e^{-1}$$
因此,原式的结果为 $\frac{\sqrt{\pi}}{4}+\frac{1}{2}\cos 1-\frac{1}{2}e^{-1}$。