(sinx)^2/(x+e^2)积分

这个积分需要进行换元和分部积分。

首先，我们进行换元，令u=sin(x)，则du/dx=cos(x)，dx=du/cos(x)。

将x代入原式中，得到：

∫(sin(x))^2/(x+e^2)dx = ∫u^2/(arcsin(u)+e^2) * du/cos(x)

接下来，我们进行分部积分，令v=arcsin(u)，则dv/du=1/√(1-u^2)，du/dv=√(1-v^2)，

∫u^2/(arcsin(u)+e^2) * du/cos(x) = ∫u^2/(v+e^2) * du/dv * dv/cos(x)

= ∫u^2/(v+e^2) * √(1-v^2)dv/cos(x)

现在，我们需要对右侧的积分进行化简，将cos(x)用v和u表示出来。由于cos(x)=√(1-sin^2(x))，因此cos(x)=√(1-u^2)。又因为u=sin(x)，所以sin^2(x)=u^2，从而得到cos(x)=√(1-u^2)。

代入原式，得到：

∫u^2/(v+e^2) * √(1-v^2)dv/cos(x) = ∫u^2/(v+e^2) * √(1-v^2)dv/√(1-u^2)

= ∫u^2/((v+e^2) * √(1-u^2)) * √(1-v^2)dv

现在，我们需要再次进行换元，令w=cos(v)，则dw/dv=-sin(v)，dv/dw=1/(-sin(v))=-1/√(1-w^2)。

将v代入原式中，得到：

∫u^2/((v+e^2) * √(1-u^2)) * √(1-v^2)dv = -∫u^2/((arccos(w)+e^2) * √(1-u^2))dw

现在，我们可以对右侧的积分进行求解。将w代入原式，得到：

-∫u^2/((arccos(w)+e^2) * √(1-u^2))dw = -∫u^2/((π/2-arcsin(w)+e^2) * √(1-u^2))dw

令z=π/2-arcsin(w)，则dz/dw=-1/√(1-w^2)，dw/dz=-√(1-w^2)。

将w代入原式中，得到：

-∫u^2/((π/2-arcsin(w)+e^2) * √(1-u^2))dw = -∫u^2/((z+e^2) * √(1-u^2))dw/dz

= -∫u^2/(z+e^2) * √(1-u^2)dz

现在，我们需要对右侧的积分进行求解。首先，我们需要将u^2/(z+e^2)拆分成两个部分，即u^2和1/(z+e^2)，然后对1/(z+e^2)进行分部积分。

令y=z+e^2，则dy/dz=1，dz/dy=1。

∫u^2/(z+e^2) * √(1-u^2)dz = ∫u^2/y * √(1-u^2)dy

= u^2 * ∫1/y * √(1-u^2)dy - ∫(d/dy(u^2)) * ∫1/y * √(1-u^2)dy dy

= u^2 * arcsin(1/y) - ∫2u/(y * √(1-u^2)) * arcsin(1/y)dy

= u^2 * arcsin(1/(z+e^2)) - 2 * ∫u/(z+e^2) * arcsin(1/(z+e^2))dz

将z=π/2-arcsin(w)代入，得到：

-∫u^2/(z+e^2) * √(1-u^2)dz = -u^2 * arcsin(cos(arcsin(w)) + e^2) - 2 * ∫u/(π/2-arcsin(w)+e^2) * arcsin(cos(arcsin(w)) + e^2)dw

= -u^2 * arcsin(√(1-w^2) + e^2) - 2 * ∫u/(π/2-arcsin(w)+e^2) * arcsin(√(1-w^2) + e^2)dw

最终，我们得到原式的解为：

- u^2 * arcsin(√(1-sin^2(x)) + e^2) - 2 * ∫u/(π/2-arcsin(sin(x))+e^2) * arcsin(√(1-sin^2(x)) + e^2)dw

其中，u=sin(x)，w=cos(v)，v=arcsin(u)，z=π/2-arcsin(w)，y=z+e^2，dy/dz=1，dz/dy=1。