计算∫_0^1▒dy ∫_1^y▒(e^(-x^2 )+e^x sinx)dx
时间: 2023-11-13 19:18:20 浏览: 35
首先将二重积分的积分顺序交换,得到:
∫_1^e^(-1)▒(∫_x^1▒e^(-x^2 )dy+∫_x^1▒e^x sinxdy)dx
对于第一个积分,∫e^(-x^2 )dy = ye^(-x^2 ),所以:
∫_x^1▒e^(-x^2 )dy = e^(-x^2 )-xe^(-x^2 )
对于第二个积分,∫e^x sinxdy = -e^x cosx + C,其中C为常数,所以:
∫_x^1▒e^x sinxdy = -e^x cosx + e^(-x) cosx - C
将上述结果代入原式,得到:
∫_1^e^(-1)▒(e^(-x^2 )-xe^(-x^2 )-e^x cosx + e^(-x) cosx + C)dx
对于第一个积分 e^(-x^2 ),可以通过换元法令x=√t,化为高斯积分的形式:
∫e^(-x^2 )dx = ∫e^(-t) / 2√t dt = 1/2 √π erf(x)
其中 erf(x) 表示误差函数。
对于第二个积分 e^x cosx,可以通过分部积分法求出积分结果:
∫e^x cosxdx = e^x cosx + e^x sinx
将上述结果代入原式,得到:
1/2 √π erf(1) - 1/2 √π erf(e^(-1)) - e^(-1) cos1 + cosh(1) + C
其中 cosh(x) 表示双曲余弦函数。
因此,原积分的结果为:
1/2 √π erf(1) - 1/2 √π erf(e^(-1)) - e^(-1) cos1 + cosh(1) + C
相关问题
∫_0^1▒dy ∫_1^y▒(e^(-x^2 )+e^x sinx)dx交换积分次序
首先,我们需要画出积分区域的示意图:
![integral_region](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/ed4epgkm.png)
可以看出,积分区域为一个梯形区域,上底为 $y=1$,下底为 $y=x$,左侧边界为 $x=0$,右侧边界为 $x=y$。
接下来,我们可以根据积分区域重新设定积分限:
$$\int_0^1\int_1^y(e^{-x^2}+e^x\sin x)dx dy=\int_0^1\int_x^1(e^{-x^2}+e^x\sin x)dy dx$$
这里我们需要注意一下新的积分限的变化,$y$ 的下限变成了 $x$,上限变成了 $1$。
现在,我们可以按照新的积分顺序进行计算:
$$\int_0^1\int_x^1(e^{-x^2}+e^x\sin x)dy dx=\int_0^1\left[y\bigg|_x^1\cdot(e^{-x^2}+e^x\sin x)\right]dx=\int_0^1(e^{-x^2}+e^x\sin x-xe^{-x^2})dx$$
这里我们使用了分部积分法来计算 $xe^{-x^2}$ 的积分。最终的结果为:
$$\int_0^1(e^{-x^2}+e^x\sin x-xe^{-x^2})dx=\frac{\sqrt{\pi}}{4}+\frac{1}{2}\cos 1-\frac{1}{2}e^{-1}$$
因此,原式的结果为 $\frac{\sqrt{\pi}}{4}+\frac{1}{2}\cos 1-\frac{1}{2}e^{-1}$。
∫(-2 2)(x^3cosx+x^6sinx)dx
首先,我们可以使用分部积分法来求解这个积分:
∫(-2 2)(x^3cosx+x^6sinx)dx
= ∫(-2 2)x^3cosxdx + ∫(-2 2)x^6sinxdx
对于第一项,令u = x^3,dv = cosx dx,则du = 3x^2 dx,v = sinx,因此:
∫(-2 2)x^3cosxdx = x^3sinx|(-2 2) - ∫(-2 2)3x^2sinxdx
对于第二项,令u = x^6,dv = sinx dx,则du = 6x^5 dx,v = -cosx,因此:
∫(-2 2)x^6sinxdx = -x^6cosx|(-2 2) - ∫(-2 2)6x^5cosxdx
现在我们需要计算两个新的积分。对于第一个积分,我们可以使用分部积分法,令u = 3x^2,dv = sinx dx,则du = 6x dx,v = -cosx,因此:
∫(-2 2)3x^2sinxdx = -3x^2cosx|(-2 2) - ∫(-2 2)-6xcosxdx
对于第二个积分,我们可以再次使用分部积分法,令u = 6x^5,dv = cosx dx,则du = 30x^4 dx,v = sinx,因此:
∫(-2 2)6x^5cosxdx = 6x^5sinx|(-2 2) - ∫(-2 2)30x^4sinxdx
现在我们需要计算最后一个新的积分。对于这个积分,我们可以使用分部积分法,令u = 30x^4,dv = sinx dx,则du = 120x^3 dx,v = -cosx,因此:
∫(-2 2)30x^4sinxdx = -30x^4cosx|(-2 2) + ∫(-2 2)120x^3cosxdx
将所有的结果代入原始积分中,得到:
∫(-2 2)(x^3cosx+x^6sinx)dx
= [x^3sinx - 3x^2cosx + 6x^5sinx - 6x^5cosx + 30x^4cosx - 30x^4sinx]|(-2 2)
= 32sin2 - 16cos2 - 1024sin(-2) + 1024cos(-2)
= 32sin2 + 16cos2 + 1024sin2 - 1024cos2
= 1056sin2 - 1008cos2
因此,∫(-2 2)(x^3cosx+x^6sinx)dx = 1056sin2 - 1008cos2。