从-1到1对sinx/x^3-1求积分
时间: 2023-09-13 17:03:12 浏览: 49
这个积分可以用分部积分法来求解,具体步骤如下:
1. 首先对于 sinx/x^3-1 中的分母进行分解,得到:
sinx / (x^3-1) = sinx / [(x-1)(x^2+x+1)]
2. 对于分母进行因式分解,得到:
x^2+x+1 = (x-(-1/2)+sqrt(3)/2)(x-(-1/2)-sqrt(3)/2)
3. 将分式中的分母转化为这两个因子的积的形式:
sinx / [(x-1)(x^2+x+1)] = A / (x-1) + B / (x-(-1/2)+sqrt(3)/2) + C / (x-(-1/2)-sqrt(3)/2)
其中 A,B,C 是待定系数。
4. 将上式通分并比较分子系数,得到:
sinx = A(x-(-1/2)+sqrt(3)/2)(x-(-1/2)-sqrt(3)/2) + B(x-1)(x-(-1/2)-sqrt(3)/2) + C(x-1)(x-(-1/2)+sqrt(3)/2)
5. 令 x = 1,得到 A = sin1 / (-sqrt(3))
6. 令 x = -1/2+sqrt(3)/2,得到 B = (-sin1-sqrt(3)cos1) / 3
7. 令 x = -1/2-sqrt(3)/2,得到 C = (-sin1+sqrt(3)cos1) / 3
8. 将 A,B,C 带入分式中,得到:
sinx / [(x-1)(x^2+x+1)] = -sin1 / (sqrt(3)(x-1)) + (-sin1-sqrt(3)cos1) / (3(x-(-1/2)+sqrt(3)/2)) + (-sin1+sqrt(3)cos1) / (3(x-(-1/2)-sqrt(3)/2))
9. 对上式分别进行积分,得到:
∫[sinx / (x^3-1)]dx = -1/2ln|x-1| - (sin1+sqrt(3)cos1)/(6sqrt(3))ln|x-(-1/2)+sqrt(3)/2| - (sin1-sqrt(3)cos1)/(6sqrt(3))ln|x-(-1/2)-sqrt(3)/2| + C
所以,原式的积分结果为:-1/2ln|x-1| - (sin1+sqrt(3)cos1)/(6sqrt(3))ln|x-(-1/2)+sqrt(3)/2| - (sin1-sqrt(3)cos1)/(6sqrt(3))ln|x-(-1/2)-sqrt(3)/2| + C。