1/(sinx ^3+cox ^3)的积分

这个积分可以通过换元来求解。我们可以先对分母进行因式分解，得到：

sin^3(x) + cos^3(x) = (sin(x) + cos(x))(sin^2(x) - sin(x)cos(x) + cos^2(x))

由于sin^2(x) + cos^2(x) = 1，因此：

sin^2(x) - sin(x)cos(x) + cos^2(x) = 1 - sin(x)cos(x)

将上面的式子代入原式，得到：

∫1/(sin^3(x) + cos^3(x)) dx = ∫1/[(sin(x) + cos(x))(1 - sin(x)cos(x))] dx

我们可以将sin(x) + cos(x)表示成根号2的形式，即：

sin(x) + cos(x) = √2(sin(x + π/4))

令t = sin(x + π/4)，则：

dt/dx = cos(x + π/4) = (cos(x) - sin(x))/√2

那么，原式可以变为：

∫1/[(sin(x) + cos(x))(1 - sin(x)cos(x))] dx = √2∫1/[t(1 - t^2)] dt

对右侧的积分进行求解，可以使用部分分式分解法，得到：

∫1/[t(1 - t^2)] dt = 1/2 ∫[1/(t-1) - 1/t - 1/(t+1)] dt

对上式右侧三个部分的积分，可以通过求对数积分来解决，得到：

∫1/(t-1) dt = ln|t-1| + C1

∫1/t dt = ln|t| + C2

∫1/(t+1) dt = ln|t+1| + C3

将t代回，得到：

∫1/[(sin(x) + cos(x))(1 - sin(x)cos(x))] dx = 1/2 √2 [ln|tan(x/2 + π/4)| - ln|tan(x/2)| - ln|tan(x/2 - π/4)|] + C'

其中C'为常数。这就是原式的解。