1/(sinx ^3+cox ^3)的积分比较简单的做饭

这个积分可以用三角恒等式化简，得到：

1/(sin^3(x) + cos^3(x)) = 1/[(sin(x) + cos(x))(sin^2(x) - sin(x)cos(x) + cos^2(x))]

由于sin^2(x) + cos^2(x) = 1，因此：

sin^2(x) - sin(x)cos(x) + cos^2(x) = 1 - sin(x)cos(x)

将上面的式子代入分母中，得到：

1/(sin^3(x) + cos^3(x)) = 1/[(sin(x) + cos(x))(1 - sin(x)cos(x))]

我们可以将sin(x) + cos(x)表示成根号2的形式，即：

sin(x) + cos(x) = √2(sin(x + π/4))

令t = sin(x + π/4)，则：

dt/dx = cos(x + π/4) = (cos(x) - sin(x))/√2

那么，原式可以变为：

∫1/[(sin(x) + cos(x))(1 - sin(x)cos(x))] dx = ∫1/[√2t(1 - t^2)] dt

对右侧的积分进行求解，可以使用换元法，令u = 1 - t^2，则：

du/dt = -2t，因此dt = -1/(2t) du

将u代入原式，得到：

∫1/[√2t(1 - t^2)] dt = -1/(2√2) ∫1/[tu^(1/2)] du

再次使用换元法，令v = u^(1/2)，则：

dv/du = 1/(2u^(1/2))，因此du = 2v dv

将v代入原式，得到：

∫1/[tu^(1/2)] du = ∫1/(tv) 2v dv = 2∫1/t dt = 2ln|t| + C

将t代回，得到：

∫1/[(sin(x) + cos(x))(1 - sin(x)cos(x))] dx = -1/(√2) ln|1 - t^2| + C'

其中，C'为常数。将t代回，得到：

∫1/(sin^3(x) + cos^3(x)) dx = -1/(√2) ln|1 - sin^2(x + π/4)| + C'

这就是原式的解。