当x趋近于0时,(x-sinx)/x^3的值
时间: 2024-06-04 15:12:04 浏览: 15
可以使用泰勒公式展开sinx:
sinx = x - x^3/3! + x^5/5! - ...
将其代入分式中得:
(x - (x - x^3/3! + x^5/5! - ...))/x^3
化简得:
x^2/3! - x^4/5! + x^6/7! - ...
显然,当 x 趋近于 0 时,分式的值趋近于 1/3! = 1/6。
相关问题
当x趋近于0时,使用等价无穷小,(x-sinx)/x^3的值
首先我们观察分式 (x-sin x)/x^3,分母是 x 的三次方,因此当 x 趋近于 0 时它会变得非常小,我们可以考虑将分子也变成一个等价的无穷小,这样我们就可以使用夹逼定理求出极限。
我们知道当 x 趋近于 0 时,sin x 和 x 的差值非常小,因此我们可以将 sin x 替换为 x,得到:
(x - x)/x^3 = 0
因此,极限值为 0。
(tanx-sinx)/(sinx)^4 趋近于0的极限
我们可以将分子和分母同时除以 cos(x),得到:
(tanx - sinx)/(sinx)^4 = (sinx/cosx - sinx)/(sinx)^4
= (sinx/cosx - cosx*sinx/cosx)/(sinx)^4
= (sinx(1-cosx))/(cosx*(sinx)^4)
然后我们可以使用洛必达法则来求解该极限。首先求导:
[(sinx(1-cosx))/(cosx*(sinx)^4)]' = [(1-cosx)/(cosx*(sinx)^3)] - [3sinx(1-cosx)/(cosx*(sinx)^4)]
然后将 x 趋近于 0,得到:
lim [(sinx(1-cosx))/(cosx*(sinx)^4)] = lim [(1-cosx)/(cosx*(sinx)^3)] - lim [3sinx(1-cosx)/(cosx*(sinx)^4)]
= lim [(1-cosx)/(cosx*(sinx)^3)] - lim [3sinx/(cosx*(sinx)^3)] + lim [3cosx/(cosx*(sinx)^4)]
= 0 - 0 + 3/2
因此,该极限的值为 3/2。
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