tanx-sinx和1-cos²x的无穷小比较
时间: 2023-10-19 09:08:32 浏览: 55
我们可以使用泰勒公式将这两个函数展开成无穷小形式:
tanx-sinx = x + O(x³)
1-cos²x = sin²x = O(x²)
因此,当 x 趋近于 0 时,tanx-sinx 和1-cos²x 的无穷小比较为:
(tanx-sinx)/(1-cos²x) = (x + O(x³))/(O(x²)) = x/O(x²) = 1/x
所以,当 x 趋近于 0 时,(tanx-sinx)/(1-cos²x) 的极限不存在。
相关问题
tanx - sinx 等于什么 tan(1-cosx ) 为什么
根据三角函数的定义,我们有:
tanx = sinx / cosx
将其代入 tanx - sinx 中,得到:
tanx - sinx = sinx / cosx - sinx = (sinx - sinx*cosx) / cosx
再将 1 - cosx 代入 tan(1-cosx) 中,得到:
tan(1-cosx) = sin(1-cosx) / cos(1-cosx)
利用三角函数的和差公式,可以将 sin(1-cosx) 和 cos(1-cosx) 分别表示为:
sin(1-cosx) = sin1 * coscosx - cos1 * sincosx
cos(1-cosx) = cos1 * coscosx + sin1 * sincosx
将上述两式代入 tan(1-cosx) 中,得到:
tan(1-cosx) = (sin1 * coscosx - cos1 * sincosx) / (cos1 * coscosx + sin1 * sincosx)
我们知道,sin1 和 cos1 分别是 1 的正弦和余弦值,因此有:
sin1 = sin(pi/2) = 1
cos1 = cos(pi/2) = 0
将其代入上述式子中,得到:
tan(1-cosx) = (sinx*cosx - 0*sincosx) / (0*cosx + 1*sincosx) = sinx / cosx = tanx - sinx
因此,tan(1-cosx) 等于 tanx - sinx。
(tanx-sinx)/(sinx)^4 趋近于0的极限
我们可以将分子和分母同时除以 cos(x),得到:
(tanx - sinx)/(sinx)^4 = (sinx/cosx - sinx)/(sinx)^4
= (sinx/cosx - cosx*sinx/cosx)/(sinx)^4
= (sinx(1-cosx))/(cosx*(sinx)^4)
然后我们可以使用洛必达法则来求解该极限。首先求导:
[(sinx(1-cosx))/(cosx*(sinx)^4)]' = [(1-cosx)/(cosx*(sinx)^3)] - [3sinx(1-cosx)/(cosx*(sinx)^4)]
然后将 x 趋近于 0,得到:
lim [(sinx(1-cosx))/(cosx*(sinx)^4)] = lim [(1-cosx)/(cosx*(sinx)^3)] - lim [3sinx(1-cosx)/(cosx*(sinx)^4)]
= lim [(1-cosx)/(cosx*(sinx)^3)] - lim [3sinx/(cosx*(sinx)^3)] + lim [3cosx/(cosx*(sinx)^4)]
= 0 - 0 + 3/2
因此,该极限的值为 3/2。