求x趋近于0中(sinx-x*cosx)/((sinx)^3)的极限
时间: 2024-05-17 16:18:30 浏览: 17
可以使用洛必达法则来求解该极限:
lim(x→0) [(sinx - x*cosx)/(sinx)^3]
= lim(x→0) [cosx - cosx - x*(-sinx)] / [(sinx)^3]
= lim(x→0) [-x*sinx] / [(sinx)^3]
= lim(x→0) [-x/(sinx)^2]
再次应用洛必达法则:
= lim(x→0) [-1/(2*sinx*cosx)]
= -1/2
因此,(sinx - x*cosx)/(sinx)^3 的极限为 -1/2。
相关问题
用python求(sinx-x*cosx)/((sinx)^3)的极限
我们可以使用泰勒公式将该函数展开为无穷级数,然后观察级数的收敛性来求极限。具体步骤如下:
首先,我们有:
sinx = x - x^3/3! + x^5/5! - ...
cosx = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ...
将sinx和cosx代入原式,得到:
(sinx - x*cosx)/sin^3(x) = [x - x^3/3! + x^5/5! - x*(1 - x^2/2! + x^4/4! - ...)]/[x^3 - 3*x^2*(x - x^3/3! + x^5/5! - ...) + 3*x*(x - x^3/3! + x^5/5! - ...)^2 - (x - x^3/3! + x^5/5! - ...)^3]
化简后,得到:
(sinx - x*cosx)/sin^3(x) = 1/3! - x^2/5! + 2*x^4/7! - ...
因此,我们可以得出该函数的泰勒级数为:
f(x) = 1/3! - x^2/5! + 2*x^4/7! - ...
由于级数收敛,我们可以得出该函数的极限为:
lim(x->0) f(x) = f(0) = 1/3!
因此,(sinx-x*cosx)/((sinx)^3)在x趋近于0时的极限为1/3!,即1/6。
从-1到1对sinx/x^3-1求积分
这个积分可以用分部积分法来求解,具体步骤如下:
1. 首先对于 sinx/x^3-1 中的分母进行分解,得到:
sinx / (x^3-1) = sinx / [(x-1)(x^2+x+1)]
2. 对于分母进行因式分解,得到:
x^2+x+1 = (x-(-1/2)+sqrt(3)/2)(x-(-1/2)-sqrt(3)/2)
3. 将分式中的分母转化为这两个因子的积的形式:
sinx / [(x-1)(x^2+x+1)] = A / (x-1) + B / (x-(-1/2)+sqrt(3)/2) + C / (x-(-1/2)-sqrt(3)/2)
其中 A,B,C 是待定系数。
4. 将上式通分并比较分子系数,得到:
sinx = A(x-(-1/2)+sqrt(3)/2)(x-(-1/2)-sqrt(3)/2) + B(x-1)(x-(-1/2)-sqrt(3)/2) + C(x-1)(x-(-1/2)+sqrt(3)/2)
5. 令 x = 1,得到 A = sin1 / (-sqrt(3))
6. 令 x = -1/2+sqrt(3)/2,得到 B = (-sin1-sqrt(3)cos1) / 3
7. 令 x = -1/2-sqrt(3)/2,得到 C = (-sin1+sqrt(3)cos1) / 3
8. 将 A,B,C 带入分式中,得到:
sinx / [(x-1)(x^2+x+1)] = -sin1 / (sqrt(3)(x-1)) + (-sin1-sqrt(3)cos1) / (3(x-(-1/2)+sqrt(3)/2)) + (-sin1+sqrt(3)cos1) / (3(x-(-1/2)-sqrt(3)/2))
9. 对上式分别进行积分,得到:
∫[sinx / (x^3-1)]dx = -1/2ln|x-1| - (sin1+sqrt(3)cos1)/(6sqrt(3))ln|x-(-1/2)+sqrt(3)/2| - (sin1-sqrt(3)cos1)/(6sqrt(3))ln|x-(-1/2)-sqrt(3)/2| + C
所以,原式的积分结果为:-1/2ln|x-1| - (sin1+sqrt(3)cos1)/(6sqrt(3))ln|x-(-1/2)+sqrt(3)/2| - (sin1-sqrt(3)cos1)/(6sqrt(3))ln|x-(-1/2)-sqrt(3)/2| + C。
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