利用matlab求不定积分sinxcox/1+sinx^4

在 MATLAB 中，可以使用符号计算工具箱来求解不定积分。具体操作如下：

1. 定义变量和函数：

syms x;
f = sin(x)*cos(x)/(1+sin(x)^4);

2. 求不定积分：

int(f, x)

运行结果为：

ans = (1/2)*atan((cos(x)^2 - 1)/(2*cos(x)^2))

因此，$\int \frac{\sin x\cos x}{1+\sin^4 x} \mathrm{d}x=\frac{1}{2}\tan^{-1}\left(\frac{\cos^2 x-1}{2\cos^2 x}\right)+C$，其中 $C$ 为常数。

相关问题

对1/1+sinx求不定积分

我们可以将分母进行有理化，得到：

$$\frac{1}{1+\sin x}=\frac{1-\sin x}{\cos^2 x}$$

然后，我们将分式拆分为两个不定积分进行求解：

$$\int \frac{1}{1+\sin x}dx=\int \frac{1-\sin x}{\cos^2 x}dx=\int \frac{1}{\cos^2 x}dx-\int \frac{\sin x}{\cos^2 x}dx$$

对于第一个不定积分，我们可以利用余切函数的定义，得到：

$$\int \frac{1}{\cos^2 x}dx=\int \sec^2 x dx=\tan x+C_1$$

对于第二个不定积分，我们可以进行变量代换，令$u=\cos x$，则有：

$$\int \frac{\sin x}{\cos^2 x}dx=-\int \frac{du}{u^2}=\frac{1}{u}+C_2=-\frac{1}{\cos x}+C_2$$

因此，原不定积分为：

$$\int \frac{1}{1+\sin x}dx=\tan x-\frac{1}{\cos x}+C$$

其中，$C=C_1+C_2$为常数。

1/(sinx ^3+cox ^3)的积分

这个积分可以通过换元来求解。我们可以先对分母进行因式分解，得到：

sin^3(x) + cos^3(x) = (sin(x) + cos(x))(sin^2(x) - sin(x)cos(x) + cos^2(x))

由于sin^2(x) + cos^2(x) = 1，因此：

sin^2(x) - sin(x)cos(x) + cos^2(x) = 1 - sin(x)cos(x)

将上面的式子代入原式，得到：

∫1/(sin^3(x) + cos^3(x)) dx = ∫1/[(sin(x) + cos(x))(1 - sin(x)cos(x))] dx

我们可以将sin(x) + cos(x)表示成根号2的形式，即：

sin(x) + cos(x) = √2(sin(x + π/4))

令t = sin(x + π/4)，则：

dt/dx = cos(x + π/4) = (cos(x) - sin(x))/√2

那么，原式可以变为：

∫1/[(sin(x) + cos(x))(1 - sin(x)cos(x))] dx = √2∫1/[t(1 - t^2)] dt

对右侧的积分进行求解，可以使用部分分式分解法，得到：

∫1/[t(1 - t^2)] dt = 1/2 ∫[1/(t-1) - 1/t - 1/(t+1)] dt

对上式右侧三个部分的积分，可以通过求对数积分来解决，得到：

∫1/(t-1) dt = ln|t-1| + C1

∫1/t dt = ln|t| + C2

∫1/(t+1) dt = ln|t+1| + C3

将t代回，得到：

∫1/[(sin(x) + cos(x))(1 - sin(x)cos(x))] dx = 1/2 √2 [ln|tan(x/2 + π/4)| - ln|tan(x/2)| - ln|tan(x/2 - π/4)|] + C'

其中C'为常数。这就是原式的解。