求y= ∫(x*(cosx)^3)/(x^2+1)dx的结果y为多少
时间: 2023-11-23 22:07:05 浏览: 38
要求y= ∫(x*(cosx)^3)/(x^2+1)dx的结果,我们可以使用分部积分法。
令u = x,dv = (cosx)^3/(x^2+1)dx,那么du/dx = 1,v = ∫(cosx)^3/(x^2+1)dx。
根据分部积分法,有:
∫(x*(cosx)^3)/(x^2+1)dx = u*v - ∫v*du/dx dx
= x∫(cosx)^3/(x^2+1)dx - ∫[∫(cosx)^3/(x^2+1)dx]*dx
= x∫(cosx)^3/(x^2+1)dx - ∫[∫(cosx)^3/(x^2+1)dx]*dx
接下来,我们需要计算∫(cosx)^3/(x^2+1)dx的值。
令u = cosx,dv = cosx/(x^2+1)dx,那么du/dx = -sinx,v = (1/2)ln(x^2+1)。
根据分部积分法,有:
∫(cosx)^3/(x^2+1)dx = u*v - ∫v*du/dx dx
= cosx*(1/2)ln(x^2+1) + (1/2)∫ln(x^2+1)*sinx dx
这里的∫ln(x^2+1)*sinx dx可以通过再次运用分部积分法来计算。
令u = ln(x^2+1),dv = sinx dx,那么du/dx = 2x/(x^2+1),v = -cosx。
根据分部积分法,有:
∫ln(x^2+1)*sinx dx = u*v - ∫v*du/dx dx
= -ln(x^2+1)*cosx + 2∫x*cosx/(x^2+1)dx
接下来,我们需要计算∫x*cosx/(x^2+1)dx的值。
令u = x,dv = cosx/(x^2+1)dx,那么du/dx = 1,v = (1/2)ln(x^2+1)。
根据分部积分法,有:
∫x*cosx/(x^2+1)dx = u*v - ∫v*du/dx dx
= x*(1/2)ln(x^2+1) - (1/2)∫ln(x^2+1)*dx
= x*(1/2)ln(x^2+1) - (1/2)x + (1/2)ln(x^2+1) + C
将上述结果带回原式,有:
∫(x*(cosx)^3)/(x^2+1)dx = x*cosx*(1/2)ln(x^2+1) - (1/2)ln(x^2+1)*cosx + x/2 - (1/2)∫ln(x^2+1)*sinx dx + C
= x*cosx*(1/2)ln(x^2+1) - (1/2)ln(x^2+1)*cosx + x/2 + ln(x^2+1)*cosx - x*sinx/2 + C
因此,y = ∫(x*(cosx)^3)/(x^2+1)dx的结果为:
y = x*cosx*(1/2)ln(x^2+1) - (1/2)ln(x^2+1)*cosx + x/2 + ln(x^2+1)*cosx - x*sinx/2 + C ,其中C为常数项。