求∫[-1,1] x(cosx)^3/(x^2+1)

这是一个比较复杂的积分，需要使用部分分式分解和换元法来求解。

首先，我们对分母进行因式分解：

x^2 + 1 = (x + i)(x - i)

然后，我们可以将被积函数写成如下形式：

x(cosx)^3/(x^2+1) = Ax + B/(x + i) + C/(x - i)

其中，A、B、C是待定系数。将上式通分并整理得：

x(cosx)^3/(x^2+1) = [(A + B + C)x^2 + (C - B)i^2 + (Bi - Ci)x]/[(x + i)(x - i)(x^2 + 1)]

由于 i^2 = -1，上式可以进一步化简为：

x(cosx)^3/(x^2+1) = [(A + B + C)x^2 + (B - C)x]/[(x^2 + 1)^2 - (2x)^2]

接下来，我们需要确定待定系数 A、B、C 的值。为此，我们可以将上式两边同时乘以分母 (x^2 + 1)^2 - (2x)^2，得到：

x(cosx)^3 = [(A + B + C)x^2 + (B - C)x][(x^2 + 1)^2 - (2x)^2]

展开并比较系数，可以得到：

A + B + C = 0
B - C = 0
2A - 2B = 1

解以上方程组，可以得到：

A = 1/4
B = 1/2
C = -3/4

因此，原积分可以化为三个部分积分：

∫[-1,1] x(cosx)^3/(x^2+1) dx = ∫[-1,1] (1/4)x dx + ∫[-1,1] (1/2)/(x + i) dx + ∫[-1,1] (-3/4)/(x - i) dx

第一个积分很容易计算，结果为 0。对于第二个积分，我们可以做如下换元：

t = x + i
dx = dt

将积分区间从 [-1,1] 变为 [-1-i,1-i]，得到：

∫[-1,1] (1/2)/(x + i) dx = ∫[-1-i,1-i] (1/2)/t dt = (1/2)ln(2i)

同理，对于第三个积分，我们可以做如下换元：

t = x - i
dx = dt

将积分区间从 [-1,1] 变为 [-1+i,1+i]，得到：

∫[-1,1] (-3/4)/(x - i) dx = ∫[-1+i,1+i] (-3/4)/t dt = (-3/4)ln(2i)

综上所述，原积分的值为：

∫[-1,1] x(cosx)^3/(x^2+1) dx = (1/2)ln(2i) - (3/4)ln(2i) = -(1/4)ln(2)