计算∫(cosx)^4dx

可以使用三角恒等式cos^2x = (1+cos2x)/2来解决这个问题。将（cosx)^4表示为（cos^2x）^2并使用三角恒等式进行替换，可以得到以下结果：

∫(cosx)^4dx = 1/4 ∫(1+cos2x)^2dx

通过展开并对每项进行积分，我们得到：

∫(cosx)^4dx = 1/4 ∫(1+2cos2x+cos^22x)dx

= 1/4 [x + (1/2)sin2x + (1/4)sin^22x] + C

因此，∫(cosx)^4dx的答案是1/4 [x + (1/2)sin2x + (1/4)sin^22x] + C。

相关问题

∫(x^3cosx+x^6sinx)dx

首先，我们可以使用分部积分法来解决这个积分：

设 $u = x^3$，$dv = \cos x\,dx$，则 $du = 3x^2\,dx$，$v = \sin x$。

根据分部积分公式，我们有：

$$\int x^3 \cos x\,dx = x^3 \sin x - \int 3x^2 \sin x\,dx$$

现在我们需要计算 $\int 3x^2 \sin x\,dx$。再次使用分部积分法：

设 $u = 3x^2$，$dv = \sin x\,dx$，则 $du = 6x\,dx$，$v = -\cos x$。

根据分部积分公式，我们有：

$$\int 3x^2 \sin x\,dx = -3x^2 \cos x + \int 6x \cos x\,dx$$

现在我们需要计算 $\int 6x \cos x\,dx$。再次使用分部积分法：

设 $u = 6x$，$dv = \cos x\,dx$，则 $du = 6\,dx$，$v = \sin x$。

根据分部积分公式，我们有：

$$\int 6x \cos x\,dx = 6x \sin x - \int 6 \sin x\,dx$$

现在我们需要计算 $\int 6 \sin x\,dx$。这是一个简单的积分，可以直接计算得到：

$$\int 6 \sin x\,dx = -6 \cos x + C$$

将以上结果合并，我们可以得到原始积分：

$$\int (x^3 \cos x + x^6 \sin x)\,dx = x^3 \sin x - 3x^2 \cos x - 6x \sin x + 6 \cos x + C$$

其中 $C$ 为积分常数。

计算∫_0^1▒dy ∫_1^y▒(e^(-x^2 )+e^x sinx)dx

首先将二重积分的积分顺序交换，得到：

∫_1^e^(-1)▒(∫_x^1▒e^(-x^2 )dy+∫_x^1▒e^x sinxdy)dx

对于第一个积分，∫e^(-x^2 )dy = ye^(-x^2 )，所以：

∫_x^1▒e^(-x^2 )dy = e^(-x^2 )-xe^(-x^2 )

对于第二个积分，∫e^x sinxdy = -e^x cosx + C，其中C为常数，所以：

∫_x^1▒e^x sinxdy = -e^x cosx + e^(-x) cosx - C

将上述结果代入原式，得到：

∫_1^e^(-1)▒(e^(-x^2 )-xe^(-x^2 )-e^x cosx + e^(-x) cosx + C)dx

对于第一个积分 e^(-x^2 )，可以通过换元法令x=√t，化为高斯积分的形式：

∫e^(-x^2 )dx = ∫e^(-t) / 2√t dt = 1/2 √π erf(x)

其中 erf(x) 表示误差函数。

对于第二个积分 e^x cosx，可以通过分部积分法求出积分结果：

∫e^x cosxdx = e^x cosx + e^x sinx

将上述结果代入原式，得到：

1/2 √π erf(1) - 1/2 √π erf(e^(-1)) - e^(-1) cos1 + cosh(1) + C

其中 cosh(x) 表示双曲余弦函数。

因此，原积分的结果为：

1/2 √π erf(1) - 1/2 √π erf(e^(-1)) - e^(-1) cos1 + cosh(1) + C