1+x平方分之cosx0到二分之派定积分
时间: 2023-12-22 07:03:17 浏览: 28
首先,我们可以先展开被积函数中的平方项,得到:
(1+x^2)^cosx
然后,我们可以使用换元法,令u = sin(x),则du/dx = cos(x),dx = du/cos(x),将被积函数中的x用u表示,得到:
(1+sin^2(u))^cos(u) * sec(u) du
接下来,我们可以使用泰勒展开,将(1+sin^2(u))^cos(u)展开成幂级数的形式:
(1+sin^2(u))^cos(u) = e^cos(u) * sum(k=0,inf){(cos(u))^k * (sin^2(u))^k/2 * (1-k)/(2k+1)!}
将这个展开式代入原式中,得到:
∫[0,π/2] (1+x^2)^cosx dx = ∫[0,π/2] e^cos(u) * sum(k=0,inf){(cos(u))^k * (sin^2(u))^k/2 * (1-k)/(2k+1)!} * sec(u) du
再次使用换元法,令v = cos(u),则dv/dx = -sin(u),将被积函数中的u用v表示,得到:
∫[0,π/2] e^v * sum(k=0,inf){v^k * ((1-v^2)/2)^k * (1-k)/(2k+1)!} dv
这是一个幂级数与指数函数的乘积,可以使用幂级数乘法的公式,得到:
∫[0,π/2] e^v * (1-v^2/2)^cos(u) * K(v) dv
其中,K(v)是一个幂级数,可以表示为:
K(v) = sum(k=0,inf){(v^2/2)^k * (1-k)/(2k+1)!}
这样,我们就将原式转化为了一个形式更加简单的积分,可以使用数值积分的方法进行计算。