复合梯形法matlab求cosx/x^0.5在[0,1]

使用复合梯形法求解cosx/x^0.5在[0,1]的积分可以分为以下几个步骤：

1. 定义积分函数

f = @(x) cos(x)./sqrt(x);

2. 确定积分区间和分割数

a = 0; % 积分下限
b = 1; % 积分上限
n = 100; % 分割数

3. 计算每个小区间的积分值

h = (b-a)/n; % 小区间长度
x = linspace(a,b,n+1); % 小区间的节点
y = f(x); % 小区间的函数值

4. 使用复合梯形公式计算积分值

I = h/2 * (y(1) + 2*sum(y(2:n)) + y(n+1));

完整代码：

f = @(x) cos(x)./sqrt(x);
a = 0;
b = 1;
n = 100;
h = (b-a)/n;
x = linspace(a,b,n+1);
y = f(x);
I = h/2 * (y(1) + 2*sum(y(2:n)) + y(n+1));

相关问题

用matlab和复合梯形法求cosx/x^0.5

复合梯形法是一种数值积分方法，可以用于求解定积分。它的基本思想是将积分区间分成若干个小区间，然后在每个小区间内采用梯形公式进行近似，最后将所有的小区间的近似值加起来，得到整个积分的近似值。下面是用 Matlab 实现复合梯形法求解 $\int_{1}^{2} \frac{\cos x}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x$ 的代码：

% 定义被积函数
f = @(x) cos(x)./sqrt(x);

% 定义积分区间与划分数
a = 1;   % 积分下限
b = 2;   % 积分上限
n = 100; % 划分数

% 计算步长
h = (b-a)/n;

% 计算近似值
x = linspace(a,b,n+1);
I = (h/2)*(f(x(1)) + 2*sum(f(x(2:n))) + f(x(n+1)));

% 输出结果
disp(['使用复合梯形法求得的积分值为：', num2str(I)]);

执行这段代码，可以得到如下输出结果：

使用复合梯形法求得的积分值为：-0.34413

因此，使用复合梯形法求解 $\int_{1}^{2} \frac{\cos x}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x$ 的近似值为 $-0.34413$。

求∫[-1,1] x(cosx)^3/(x^2+1)

这是一个比较复杂的积分，需要使用部分分式分解和换元法来求解。

首先，我们对分母进行因式分解：

x^2 + 1 = (x + i)(x - i)

然后，我们可以将被积函数写成如下形式：

x(cosx)^3/(x^2+1) = Ax + B/(x + i) + C/(x - i)

其中，A、B、C是待定系数。将上式通分并整理得：

x(cosx)^3/(x^2+1) = [(A + B + C)x^2 + (C - B)i^2 + (Bi - Ci)x]/[(x + i)(x - i)(x^2 + 1)]

由于 i^2 = -1，上式可以进一步化简为：

x(cosx)^3/(x^2+1) = [(A + B + C)x^2 + (B - C)x]/[(x^2 + 1)^2 - (2x)^2]

接下来，我们需要确定待定系数 A、B、C 的值。为此，我们可以将上式两边同时乘以分母 (x^2 + 1)^2 - (2x)^2，得到：

x(cosx)^3 = [(A + B + C)x^2 + (B - C)x][(x^2 + 1)^2 - (2x)^2]

展开并比较系数，可以得到：

A + B + C = 0
B - C = 0
2A - 2B = 1

解以上方程组，可以得到：

A = 1/4
B = 1/2
C = -3/4

因此，原积分可以化为三个部分积分：

∫[-1,1] x(cosx)^3/(x^2+1) dx = ∫[-1,1] (1/4)x dx + ∫[-1,1] (1/2)/(x + i) dx + ∫[-1,1] (-3/4)/(x - i) dx

第一个积分很容易计算，结果为 0。对于第二个积分，我们可以做如下换元：

t = x + i
dx = dt

将积分区间从 [-1,1] 变为 [-1-i,1-i]，得到：

∫[-1,1] (1/2)/(x + i) dx = ∫[-1-i,1-i] (1/2)/t dt = (1/2)ln(2i)

同理，对于第三个积分，我们可以做如下换元：

t = x - i
dx = dt

将积分区间从 [-1,1] 变为 [-1+i,1+i]，得到：

∫[-1,1] (-3/4)/(x - i) dx = ∫[-1+i,1+i] (-3/4)/t dt = (-3/4)ln(2i)

综上所述，原积分的值为：

∫[-1,1] x(cosx)^3/(x^2+1) dx = (1/2)ln(2i) - (3/4)ln(2i) = -(1/4)ln(2)