为什么1-cosx在x=0处不连续
时间: 2024-02-23 08:56:35 浏览: 26
礼仪的监管和管理。在学生违反规定时,应及时予以批评和教育,让在的定义域中,如果一个函数在某一点的左极限和右极限存在,但是两个极限学生认识到自己的错误,并纠正错误行为。
4.4 建设和谐校园
学校应不相等,那么这个函数在这个点就不连续。对于函数1-cosx,在x=0建设和谐校园,营造良好的校园文化氛围。学校可以举办各种文化活处,它的左极限为0,右极限为1-1=0,因此左极限和右极限相等,但是函数在x=0处的值为0,与左右极限相等,因此1-cosx在x=0处是连续的。
相关问题
C语言中用牛顿迭代法求方程x-1-cosx=0的一个实根。初值为1.0,精度要求为0.00001
牛顿迭代法公式为:x1=x0-f(x0)/f'(x0),其中x0为初值,x1为迭代后的值,f(x)为方程,f'(x)为f(x)的导数。
对于本题,方程为x-1-cosx=0,导数为1+sinx。则迭代公式为:x1=x0-(x0-1-cosx0)/(1+sinx0)。
按照精度要求,当x1-x0的绝对值小于0.00001时,可以认为已经得到了一个实根。
以下是C语言代码实现:
```c
#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
double x0=1.0, x1=0.0;
double precision=0.00001;
do{
x1=x0-(x0-1-cos(x0))/(1+sin(x0));
if(fabs(x1-x0)<precision)
break;
x0=x1;
}while(1);
printf("The root is %lf", x1);
return 0;
}
```
1-cosx == x2/2
这个等式不正确。实际上,当 $x$ 趋近于 $0$ 时,有:
$$1 - \cos{x} \sim \frac{x^2}{2}$$
其中 $\sim$ 表示左右两边的极限存在且相等。这个结果可以通过泰勒展开或者利用极限的定义证明。具体来说,我们可以使用泰勒公式:
$$\cos{x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$$
将其代入 $1 - \cos{x}$ 中,得到:
$$1 - \cos{x} = 1 - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2n}}{(2n)!}$$
因此,
$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos{x}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2n}}{(2n)!}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2n-2}}{(2n)!}$$
由于当 $n \geq 2$ 时,$(-1)^{n-1} < 0$,因此可以将上式拆分为两个极限:
$$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2n}}{(2n)!}}{x^2} &= \lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{2!} - \frac{x^2}{4!} + \frac{x^4}{6!} - \cdots\right) \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} - \frac{x^2}{4!} + \frac{x^4}{6!} - \cdots \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned}$$
因此,$1 - \cos{x} \sim \frac{x^2}{2}$ 当 $x$ 趋近于 $0$。