1-cosx的左右极限怎么求
时间: 2024-02-23 20:56:36 浏览: 35
当x趋近于0时,1-cosx的左极限为0,右极限也为0。可以通过以下证明方式得出:
左极限:当x趋近于0时,有cosx趋近于1,所以1-cosx趋近于0。因此,左极限为0。
右极限:当x趋近于0时,有cosx趋近于1,所以1-cosx趋近于0。因此,右极限为0。
因此,1-cosx的左右极限均为0。
相关问题
1-cosx/x 极限
当$x$趋近于0时,$1-\cos x$趋近于$\dfrac{1}{2}x^2$,$x$趋近于0时,$\dfrac{\sin x}{x}$趋近于1,因此:
$$\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sin^2 x}{x^2}=\dfrac{1}{2}$$
所以,$\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}\cdot x=\dfrac{1}{2}\cdot 0=0$。
因此,$ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x}=0$。
tanx-cosx和1-cosx²无穷小的比较
将tanx-cosx展开成泰勒级数:
tanx-cosx = (x-x^3/3+x^5/5-...) - (1-x^2/2+x^4/24-...)
化简可得:
tanx-cosx = x^3/3 - x^5/15 + x^7/315 - ...
将1-cosx²展开成泰勒级数:
1-cosx² = (x^2/2 - x^4/24 + x^6/720 - ...) - (1 - x^2/2 + x^4/24 - ...)
化简可得:
1-cosx² = x^4/12 - x^6/360 + x^8/20160 - ...
因为在0处,tanx-cosx和1-cosx²的函数值都为0,所以我们可以比较它们的导数在0处的大小关系。
(tanx-cosx)' = 1 - x^2 + 2x^4/3 - ...
(1-cosx²)' = 2x - 4x^3/3 + 6x^5/5 - ...
显然,当x趋近于0时,(tanx-cosx)'的阶数高于(1-cosx²)'的阶数,因此tanx-cosx比1-cosx²更小,即tanx-cosx是1-cosx²的高阶无穷小。