x^2/1+（cosx）^2的不定积分的求解过程

首先，我们可以将 x^2/1 （cosx）^2 写成 x^2 sec^2x 的形式。然后，我们可以使用分部积分法来求解不定积分。具体来说，我们可以令 u = x^2 和 dv = sec^2x dx，然后求出 du 和 v，最后代入分部积分公式即可得到不定积分的解。具体过程如下：

∫ x^2/1 （cosx）^2 dx

= ∫ x^2 sec^2x dx

= x^2 tanx - 2 ∫ x tanx dx

= x^2 tanx - 2 (x tanx - ∫ tanx dx)

= x^2 tanx - 2x tanx + 2 ln|secx|

因此，不定积分的解为 x^2 tanx - 2x tanx + 2 ln|secx| + C，其中 C 为常数。

相关问题

cos^2x/(sinx+cosx)的不定积分

这道题可以通过变形和分部积分来求解。

首先，我们可以将 cos^2x 分解为 1-sin^2x，得到：

∫cos^2x/(sinx+cosx)dx = ∫(1-sin^2x)/(sinx+cosx)dx

接下来，我们进行变量代换，令 u = sinx + cosx，那么有：

du/dx = cosx - sinx

dx = du/(cosx-sinx)

将 x 表示为 u 的函数，得到：

x = arctan((u-1)/sqrt(2)) + π/4

将 dx 代入原式中，得到：

∫cos^2x/(sinx+cosx)dx = ∫(1-sin^2x)/(sinx+cosx)dx

= ∫(1-u^2+2u-1)/(u*√2)du/(cosx-sinx)

= ∫(2u - u^2)/(u*√2)du/(cosx-sinx)

= 2√2∫(1-u)/(u^2-2u+2)du

接下来，我们进行分部积分，令 u^2-2u+2 = t，那么有：

du = (t-2)dt/(2u-2)

将 du 代入原式中，得到：

∫(1-u)/(u^2-2u+2)du = ∫(t-4)/(4(t-1))dt

= 1/4∫(t-1-3)/(t-1)dt

= 1/4∫(1+3/(t-1))dt

= 1/4(t+3ln|t-1|) + C

将 t 代回原式，得到：

∫cos^2x/(sinx+cosx)dx = 1/4(2sinx + 3ln|sinx+cosx|) + C

综上所述，cos^2x/(sinx+cosx)的不定积分为 1/4(2sinx + 3ln|sinx+cosx|) + C。

（sinx*cosx）/(sinx+cosx)的不定积分

这个积分可以通过换元法来求解，具体步骤如下：

令u = sin(x) + cos(x)，则有du/dx = cos(x) - sin(x)

将u = sin(x) + cos(x)代入被积函数，则有：

sin(x)*cos(x)/(sin(x) + cos(x)) = (u^2 - 1)/2u

将被积函数中的sin(x)*cos(x)用(1/2)sin(2x)表示，得到：

(1/2) ∫ [(sin(2x)/(2u)) - (1/u)] dx

对于第一项，可以通过换元法来求解，令v = 2x，则有：

∫ (sin(2x)/(2u)) dx = (1/2) ∫ (sin(v)/u) dv = (1/2) ln|sin(v) + cos(v)| + C1

对于第二项，可以直接使用求导反函数的方法来求解，令f(u) = ln(u)，则有f'(u) = 1/u，因此：

∫ (1/u) dx = ln|u| + C2 = ln|sin(x) + cos(x)| + C2

将两个结果合并，即可得到原积分的结果：

∫ (sin(x)*cos(x))/(sin(x) + cos(x)) dx = (1/2) ln|sin(2x) + 2cos(x)| - ln|sin(x) + cos(x)| + C

其中C为任意常数。