x^2/1+（cosx）^2的不定积分的求解过程

首先，我们可以将 x^2/1 （cosx）^2 写成 x^2 sec^2x 的形式。然后，我们可以使用分部积分法来求解不定积分。具体来说，我们可以令 u = x^2 和 dv = sec^2x dx，然后求出 du 和 v，最后代入分部积分公式即可得到不定积分的解。具体过程如下：

∫ x^2/1 （cosx）^2 dx

= ∫ x^2 sec^2x dx

= x^2 tanx - 2 ∫ x tanx dx

= x^2 tanx - 2 (x tanx - ∫ tanx dx)

= x^2 tanx - 2x tanx + 2 ln|secx|

因此，不定积分的解为 x^2 tanx - 2x tanx + 2 ln|secx| + C，其中 C 为常数。

相关问题

cos^2x/(sinx+cosx)的不定积分

这道题可以通过变形和分部积分来求解。

首先，我们可以将 cos^2x 分解为 1-sin^2x，得到：

∫cos^2x/(sinx+cosx)dx = ∫(1-sin^2x)/(sinx+cosx)dx

接下来，我们进行变量代换，令 u = sinx + cosx，那么有：

du/dx = cosx - sinx

dx = du/(cosx-sinx)

将 x 表示为 u 的函数，得到：

x = arctan((u-1)/sqrt(2)) + π/4

将 dx 代入原式中，得到：

∫cos^2x/(sinx+cosx)dx = ∫(1-sin^2x)/(sinx+cosx)dx

= ∫(1-u^2+2u-1)/(u*√2)du/(cosx-sinx)

= ∫(2u - u^2)/(u*√2)du/(cosx-sinx)

= 2√2∫(1-u)/(u^2-2u+2)du

接下来，我们进行分部积分，令 u^2-2u+2 = t，那么有：

du = (t-2)dt/(2u-2)

将 du 代入原式中，得到：

∫(1-u)/(u^2-2u+2)du = ∫(t-4)/(4(t-1))dt

= 1/4∫(t-1-3)/(t-1)dt

= 1/4∫(1+3/(t-1))dt

= 1/4(t+3ln|t-1|) + C

将 t 代回原式，得到：

∫cos^2x/(sinx+cosx)dx = 1/4(2sinx + 3ln|sinx+cosx|) + C

综上所述，cos^2x/(sinx+cosx)的不定积分为 1/4(2sinx + 3ln|sinx+cosx|) + C。

设f(x)=1/x^2[a-x/2+e^x+xln(1+x^2)+(b+cosx)sinx]，若x=0为f(x)的可去间断点，求a,b的值

根据题意，可知f(x)在x=0处的极限存在，且f(x)在x=0处没有定义，因此可以推断出f(x)在x=0处是一个可去间断点。那么我们可以根据极限的定义来求出a,b的值。

首先，根据极限的定义，当x趋近于0时，f(x)应该趋近于一个有限的值，否则它就不会有可去间断点。因此，我们可以先计算出f(x)在x=0处的极限。

f(x)在x=0处的极限为：

lim[x→0]f(x) = lim[x→0][1/x^2][a-x/2+e^x+xln(1+x^2)+(b+cosx)sinx]

由于除数x^2趋近于0，因此我们可以将分子中的所有项都展开成x的幂级数，然后应用极限的求法，得到：

lim[x→0]f(x) = a

因此，a的值为f(x)在x=0处的极限，即：

a = lim[x→0]f(x) = lim[x→0][1/x^2][a-x/2+e^x+xln(1+x^2)+(b+cosx)sinx]

接下来，我们需要确定b的值。由于f(x)在x=0处是一个可去间断点，因此f(x)在x=0处必须有一个极限L，而且L必须满足以下两个条件：

1. lim[x→0]f(x) = L

2. f(x)在x=0处可以通过修改或者定义来使之连续，并且这个修改或者定义后的函数在x=0处必须等于L。

因此，我们需要找到一个函数g(x)，使得g(x)在x=0处连续，且g(x)在x=0处等于lim[x→0]f(x)。然后，我们将f(x)与g(x)进行比较，找到它们在x=0处的差异，这个差异就是f(x)在x=0处的可去间断。

我们可以定义g(x)如下：

g(x) = [a-x/2+e^x+xln(1+x^2)+bsin(x)]/x^2

显然，g(x)在x=0处的极限等于a。此外，我们可以对g(x)在x=0处进行泰勒展开，得到：

g(x) = [a-x/2+1+x+bx+O(x^2)]/x^2

因此，g(x)在x=0处的函数值为：

g(0) = lim[x→0]g(x) = (a-1)/2

现在，我们可以将f(x)与g(x)进行比较，找到它们在x=0处的差异。显然，它们的差异来自于以下两个项：

xln(1+x^2) 和 (b+cosx)sinx

因此，我们需要让这两个项在x=0处的函数值为0，才能使f(x)在x=0处成为一个连续函数。解方程得到：

lim[x→0]xln(1+x^2) = 0

lim[x→0](b+cosx)sinx = 0

第一个方程的解为0，而第二个方程的解为b=0。

因此，a的值为f(x)在x=0处的极限，即：

a = lim[x→0]f(x) = lim[x→0][1/x^2][a-x/2+e^x+xln(1+x^2)+(b+cosx)sinx] = lim[x→0][1/x^2][a-x/2+e^x+xln(1+x^2)]

由于b=0，因此在计算极限时可以忽略(b+cosx)sinx这一项。因此，我们可以将f(x)化简为：

f(x) = [a-x/2+e^x+xln(1+x^2)]/x^2

然后，我们可以对f(x)在x=0处进行泰勒展开，得到：

f(x) = [a-1/2+1+x+O(x^2)]/x^2

因此，f(x)在x=0处的函数值为：

f(0) = lim[x→0]f(x) = (a-1)/2

因此，我们可以得到：

a-1 = 2f(0) = 2lim[x→0]f(x) = 2lim[x→0][1/x^2][a-x/2+e^x+xln(1+x^2)]

a-1 = 2a

a = 1

因此，a=1，b=0。

答案：a=1，b=0。