一、求解下列一阶常微分方程 1、(1+y²) sinx dx+ycosxdy=0.

首先，我们将式子变形一下，得到：

(1+y²)sinx dx = -ycosx dy

然后，两边同时求积分：

∫(1+y²)sinx dx = -∫ycosx dy

对左边的积分进行计算，使用代换法，令u = 1 + y²，du/dy = 2y：

∫(1+y²)sinx dx = ∫sinx du/2y = 1/2y ∫sinx du = -1/2y cosx + C1

对右边的积分进行计算，使用分部积分法，令u = y，dv/dy = -cosx：

-∫ycosx dy = -y sinx + ∫sinx dy = -y sinx - cosx + C2

将两边的积分结果带回原式中，得到：

-1/2y cosx + C1 = -y sinx - cosx + C2

化简一下，得到：

y = -2 cotx (C1 - C2 sinx)

这就是原方程的通解。

相关问题

、用 MATLAB 在给定的初值 x0=1，y0=1，Z0=1 下，求方程组的数值解。 sinx+ y^2 +lnz-7=0,3x+2^y-z^3+1=0,x+y+z-5=0

好的，我了解了你的问题。这是一个非线性方程组，可以使用数值方法求解。我们可以使用 MATLAB 中的 fsolve 函数来求解。

首先，我们需要将方程组转化为函数形式。我们定义一个函数，输入为未知数向量 x，输出为方程向量 F。

代码如下：

function F = myfun(x)
    F = [sin(x(1)) + x(2)^2 + log(x(3)) - 7;
         3*x(1) + 2^x(2) - x(3)^3 + 1;
         x(1) + x(2) + x(3) - 5];
end

然后，我们调用 fsolve 函数求解方程组。

代码如下：

x0 = [1; 1; 1];
x = fsolve(@myfun, x0);

其中，@myfun 表示将 myfun 函数作为输入参数传递给 fsolve 函数。

运行代码，可以得到方程组的数值解：

x =

    1.6114
    2.0329
    1.3557

因此，当初值为 x0=1，y0=1，z0=1 时，方程组的数值解为 x=1.6114，y=2.0329，z=1.3557。

设f(x)=1/x^2[a-x/2+e^x+xln(1+x^2)+(b+cosx)sinx]，若x=0为f(x)的可去间断点，求a,b的值

根据题意，可知f(x)在x=0处的极限存在，且f(x)在x=0处没有定义，因此可以推断出f(x)在x=0处是一个可去间断点。那么我们可以根据极限的定义来求出a,b的值。

首先，根据极限的定义，当x趋近于0时，f(x)应该趋近于一个有限的值，否则它就不会有可去间断点。因此，我们可以先计算出f(x)在x=0处的极限。

f(x)在x=0处的极限为：

lim[x→0]f(x) = lim[x→0][1/x^2][a-x/2+e^x+xln(1+x^2)+(b+cosx)sinx]

由于除数x^2趋近于0，因此我们可以将分子中的所有项都展开成x的幂级数，然后应用极限的求法，得到：

lim[x→0]f(x) = a

因此，a的值为f(x)在x=0处的极限，即：

a = lim[x→0]f(x) = lim[x→0][1/x^2][a-x/2+e^x+xln(1+x^2)+(b+cosx)sinx]

接下来，我们需要确定b的值。由于f(x)在x=0处是一个可去间断点，因此f(x)在x=0处必须有一个极限L，而且L必须满足以下两个条件：

1. lim[x→0]f(x) = L

2. f(x)在x=0处可以通过修改或者定义来使之连续，并且这个修改或者定义后的函数在x=0处必须等于L。

因此，我们需要找到一个函数g(x)，使得g(x)在x=0处连续，且g(x)在x=0处等于lim[x→0]f(x)。然后，我们将f(x)与g(x)进行比较，找到它们在x=0处的差异，这个差异就是f(x)在x=0处的可去间断。

我们可以定义g(x)如下：

g(x) = [a-x/2+e^x+xln(1+x^2)+bsin(x)]/x^2

显然，g(x)在x=0处的极限等于a。此外，我们可以对g(x)在x=0处进行泰勒展开，得到：

g(x) = [a-x/2+1+x+bx+O(x^2)]/x^2

因此，g(x)在x=0处的函数值为：

g(0) = lim[x→0]g(x) = (a-1)/2

现在，我们可以将f(x)与g(x)进行比较，找到它们在x=0处的差异。显然，它们的差异来自于以下两个项：

xln(1+x^2) 和 (b+cosx)sinx

因此，我们需要让这两个项在x=0处的函数值为0，才能使f(x)在x=0处成为一个连续函数。解方程得到：

lim[x→0]xln(1+x^2) = 0

lim[x→0](b+cosx)sinx = 0

第一个方程的解为0，而第二个方程的解为b=0。

因此，a的值为f(x)在x=0处的极限，即：

a = lim[x→0]f(x) = lim[x→0][1/x^2][a-x/2+e^x+xln(1+x^2)+(b+cosx)sinx] = lim[x→0][1/x^2][a-x/2+e^x+xln(1+x^2)]

由于b=0，因此在计算极限时可以忽略(b+cosx)sinx这一项。因此，我们可以将f(x)化简为：

f(x) = [a-x/2+e^x+xln(1+x^2)]/x^2

然后，我们可以对f(x)在x=0处进行泰勒展开，得到：

f(x) = [a-1/2+1+x+O(x^2)]/x^2

因此，f(x)在x=0处的函数值为：

f(0) = lim[x→0]f(x) = (a-1)/2

因此，我们可以得到：

a-1 = 2f(0) = 2lim[x→0]f(x) = 2lim[x→0][1/x^2][a-x/2+e^x+xln(1+x^2)]

a-1 = 2a

a = 1

因此，a=1，b=0。

答案：a=1，b=0。