x^2/1+（cosx）^2的不定积分的求解过程

首先，我们可以将 x^2/1 （cosx）^2 写成 x^2 sec^2x 的形式，然后使用分部积分法进行求解。令 u = x^2 和 dv = sec^2x dx，那么 du = 2x dx 和 v = tanx。根据分部积分公式，不定积分为：

∫ x^2 sec^2x dx = x^2 tanx - ∫ 2x tanx dx

接着，我们可以再次使用分部积分法，令 u = 2x 和 dv = tanx dx，那么 du = 2 dx 和 v = ln|secx|。根据分部积分公式，不定积分为：

∫ 2x tanx dx = 2x ln|secx| - ∫ 2 ln|secx| dx

化简得到：

∫ x^2 sec^2x dx = x^2 tanx - 2x ln|secx| + 2 tanx + C

其中 C 为常数。

相关问题

cos^2x/(sinx+cosx)的不定积分

这道题可以通过变形和分部积分来求解。

首先，我们可以将 cos^2x 分解为 1-sin^2x，得到：

∫cos^2x/(sinx+cosx)dx = ∫(1-sin^2x)/(sinx+cosx)dx

接下来，我们进行变量代换，令 u = sinx + cosx，那么有：

du/dx = cosx - sinx

dx = du/(cosx-sinx)

将 x 表示为 u 的函数，得到：

x = arctan((u-1)/sqrt(2)) + π/4

将 dx 代入原式中，得到：

∫cos^2x/(sinx+cosx)dx = ∫(1-sin^2x)/(sinx+cosx)dx

= ∫(1-u^2+2u-1)/(u*√2)du/(cosx-sinx)

= ∫(2u - u^2)/(u*√2)du/(cosx-sinx)

= 2√2∫(1-u)/(u^2-2u+2)du

接下来，我们进行分部积分，令 u^2-2u+2 = t，那么有：

du = (t-2)dt/(2u-2)

将 du 代入原式中，得到：

∫(1-u)/(u^2-2u+2)du = ∫(t-4)/(4(t-1))dt

= 1/4∫(t-1-3)/(t-1)dt

= 1/4∫(1+3/(t-1))dt

= 1/4(t+3ln|t-1|) + C

将 t 代回原式，得到：

∫cos^2x/(sinx+cosx)dx = 1/4(2sinx + 3ln|sinx+cosx|) + C

综上所述，cos^2x/(sinx+cosx)的不定积分为 1/4(2sinx + 3ln|sinx+cosx|) + C。

求不定积分(x^3cosx+x^6sinx)dx

我们可以使用逐步积分法来求解这个积分。

首先，我们对 $x^3 \cos x$ 进行积分：

$$\int x^3 \cos x dx = x^3 \sin x - 3x^2 \cos x + 6x \sin x - 6 \cos x + C_1$$

其中 $C_1$ 是常数。

接下来，我们对 $x^6 \sin x$ 进行积分：

$$\int x^6 \sin x dx = -x^6 \cos x + 6x^5 \sin x + 30x^4 \cos x - 120x^3 \sin x - 360x^2 \cos x + 720x \sin x - 720 \cos x + C_2$$

其中 $C_2$ 是常数。

最终，原积分为：

$$\int (x^3 \cos x + x^6 \sin x)dx = x^3 \sin x - 3x^2 \cos x + 6x \sin x - 6 \cos x - x^6 \cos x + 6x^5 \sin x + 30x^4 \cos x - 120x^3 \sin x - 360x^2 \cos x + 720x \sin x - 720 \cos x + C$$

其中 $C = C_1 + C_2$ 是常数。