求(sinx)^5-(sinx)^8在π/2到π上的积分
时间: 2024-03-11 19:46:00 浏览: 21
首先,我们可以将被积函数改写为(sin(x))^5*(1-sin(x))^3,然后进行变量代换,令u = sin(x),则du/dx = cos(x)dx,当x = π/2 时,u = 1;当x = π 时,u = 0。因此,原积分可以转化为:
∫[1,0] u^5*(1-u)^3 * du / cos(x)
接下来,我们可以使用Beta函数的性质,将被积函数表示为两个Gamma函数的乘积:
(u^5 * (1-u)^3) = Γ(6) * Γ(4) / Γ(10) * u^5 * (1-u)^3
那么,原积分可以表示为:
∫[1,0] Γ(6) * Γ(4) / Γ(10) * u^5 * (1-u)^3 * du / cos(x)
再次进行变量代换,令t = u/(1-u),则u = t/(1+t),du/dt = 1/(1+t)^2,因此,原积分可以转化为:
∫[∞,1] Γ(6) * Γ(4) / Γ(10) * t^5 / (1+t)^9 * (1-t/(1+t))^3 * (1+t)^2 * dt / cos(x)
化简后得到:
∫[∞,1] Γ(6) * Γ(4) / Γ(10) * t^5 / (1+t)^6 * (1-t)^3 * dt / cos(x)
使用Beta函数,得到:
∫[∞,1] Γ(6) * Γ(4) / Γ(10) * t^5 / (1+t)^6 * (1-t)^3 * dt / cos(x) = Γ(6) * Γ(4) / Γ(10) * B(6,4) / cos(x)
带入Beta函数公式和Gamma函数的值,最终得到:
∫[π/2,π] (sin(x))^5 * (1-sin(x))^3 dx = 7π/640