详细解答一下(x-xcosx)/(sinx-xcosx)的不定积分

我们可以将分子和分母同时除以cosx，得到

(x/x-1) / (tanx-1)

我们可以进行换元，令u=tanx-1，则du/dx=sec^2x，dx=du/sec^2x，代入原式得

∫ (x/x-1) / (tanx-1) dx = ∫ (u+1) / u * sec^2x du

注意到u=tanx-1，我们可以将sec^2x用1+tan^2x替换，得到

∫ (u+1) / u * sec^2x du = ∫ (u+1) / u * (1+tan^2x) du

=u + ln|u| + C, 其中C为常数

由于u=tanx-1，我们可以将它代入上式，得到

∫ (x-xcosx)/(sinx-xcosx) dx = tanx-1 + ln|tanx-1| + C

因此，原式的不定积分为tanx-1 + ln|tanx-1| + C。

相关问题

(x-xcosx)/(sinx-xcosx)的不定积分

我们可以将分母中的sinx提取出来，并利用三角恒等式将分子化简：

(x-xcosx)/(sinx-xcosx) = (x(1-cosx))/(sinx-xcosx) = (x(1-cosx))/(sinx(1-cosx)) = x/sinx

因此，原式的不定积分为：

∫(x-xcosx)/(sinx-xcosx) dx = ∫(x/sinx) dx = ∫(xsinx)/(sinx*cosx) dx

利用部分分数分解，我们可以将分母拆分为两个部分：

(xsinx)/(sinx*cosx) = x/cosx + xtanx

因此，原式的不定积分为：

∫(x-xcosx)/(sinx-xcosx) dx = ∫(x/sinx) dx = ∫(xsinx)/(sinx*cosx) dx = ∫(x/cosx + xtanx) dx

= ∫(x/cosx) dx + ∫(xtanx) dx

= ln|secx + tanx| + ln|cosx| - x + C

其中C为常数。

pycham根据泰勒公式求limx→0((sinx-xcosx/sinm³x))

### 回答1：
我可以回答这个问题。根据泰勒公式，sinx可以表示为x-x³/3!+x⁵/5!-...，cosx可以表示为1-x²/2!+x⁴/4!-...，将它们代入(sin x-xcos x)/sin³x中，得到limx→(x³/3!-x⁵/5!+x⁷/7!-...-1+x²/2!-x⁴/4!+...) / (x³(1-3!/5!x²+...))，化简后得到limx→(1/3!-x²/5!+...) / (1-3!/5!x²+...)，再次化简后得到1/3，因此limx→((sinx-xcosx)/sin³x)的极限值为1/3。

### 回答2：
首先，我们将limx→0((sinx-xcosx/sinm³x))中的sinx-xcosx拆分成两部分，即sinx和-xcosx。

根据泰勒公式，我们可以将sinx和xcosx展开成它们的泰勒级数。

sinx的泰勒级数展开式为：sinx = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ...

xcosx的泰勒级数展开式为：xcosx = x - x³/2! + x⁵/4! - x⁷/6! + ...

将以上两个级数代入limx→0((sinx-xcosx/sinm³x))中，我们得到：

limx→0((sinx-xcosx/sinm³x)) = limx→0((x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ... - (x - x³/2! + x⁵/4! - x⁷/6! + ...)/(x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ...))) / sinm³x

根据极限的性质，我们可以将分子和分母的级数都展开到相同的阶数，即去掉高阶无穷小的项。

将以上步骤进行展开和简化后，我们得到：

limx→0((sinx-xcosx/sinm³x)) = limx→0((1/3! - 1/2!)x² + (1/5! - 1/4!)x⁴ + (1/7! - 1/6!)x⁶ + ... ) / sinm³x

由于m是一个常数，我们可以将limx→0((1/3! - 1/2!)x² + (1/5! - 1/4!)x⁴ + (1/7! - 1/6!)x⁶ + ... ) 简化为一个常数c。

最终我们得到：

limx→0((sinx-xcosx/sinm³x)) = c / sinm³x

综上所述，根据泰勒公式，我们可以将limx→0((sinx-xcosx/sinm³x))化简为c / sinm³x的形式，其中c是一个常数。

### 回答3：
首先，我们来回顾一下泰勒公式。泰勒公式是用来近似表示函数在某个点附近的值的方法。对于一个可导的函数 f(x)，泰勒公式的一般形式为：

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + f'''(a)(x-a)³/3! + ...

其中 f'(a)、f''(a)、f'''(a) 分别表示函数 f(x) 在点 a 处的一阶、二阶和三阶导数。

接下来，我们根据泰勒公式求解题目中的极限。根据题目，我们需要计算的极限为：

lim(x→0) ((sinx - xcosx)/sin³x)

根据泰勒公式，我们可以近似将 sinx 和 cosx 展开为：

sinx ≈ x - (x³/3!) + (x⁵/5!) - ...

cosx ≈ 1 - (x²/2!) + (x⁴/4!) - ...

代入极限式中，得到：

lim(x→0) ((x - (x³/3!) + (x⁵/5!) - x(1 - (x²/2!) + (x⁴/4!) - ...))/(x³ - 3!(x⁵/5!) + ...))

将该极限式进行化简，得到最终结果为：

lim(x→0) (1/3)

所以，根据泰勒公式，求解题目中的极限为 1/3。