sinx+cosx的频谱

首先，我们可以将 $sin(x)+cos(x)$ 表示为 $A\cdot sin(x+\phi)$ 的形式，其中 $A$ 是振幅，$\phi$ 是相位。

将 $sin(x)+cos(x)$ 化简得到：

$sin(x)+cos(x)=\sqrt{2}\cdot sin(x+\frac{\pi}{4})$

因此，$A=\sqrt{2}$，$\phi=\frac{\pi}{4}$。

接下来，我们可以对 $sin(x+\frac{\pi}{4})$ 进行傅里叶变换，得到它的频谱。傅里叶变换公式如下：

$F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx$

其中，$f(x)$ 是原函数，$\omega$ 是角频率，$i$ 是虚数单位。

将 $sin(x+\frac{\pi}{4})$ 代入傅里叶变换公式，得到：

$F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}sin(x+\frac{\pi}{4})e^{-i\omega x}dx$

使用欧拉公式 $e^{-ix}=cos(x)-isin(x)$，将 $sin(x+\frac{\pi}{4})$ 转化为 $e^{i(x+\frac{\pi}{4})}-e^{-i(x+\frac{\pi}{4})}$，得到：

$F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}(e^{i(x+\frac{\pi}{4})}-e^{-i(x+\frac{\pi}{4})})e^{-i\omega x}dx$

化简后得到：

$F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{ix(\frac{\pi}{4}-\omega)}dx - \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ix(\frac{\pi}{4}+\omega)}dx$

根据傅里叶变换的性质，我们可以得到：

$F(\omega)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}(\delta(\omega-\frac{\pi}{4})-\delta(\omega+\frac{\pi}{4}))$

其中，$\delta(x)$ 是狄拉克 $\delta$ 函数，表示一个脉冲信号，它在 $x=0$ 处取值为无穷大，且在其他位置取值为 0。

因此，$sin(x)+cos(x)$ 的频谱为：

$\sqrt{\frac{2}{\pi}}(\delta(\omega-\frac{\pi}{4})-\delta(\omega+\frac{\pi}{4}))$