sinx+cosx可以转换成什么式子

sinx+cosx可以转换成$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}sinx+\frac{1}{\sqrt{2}}cosx)=\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi}{4})$。这里用到了三角函数的和角公式$sin(a+b)=sinacosb+cosasinb$和$cos(a+b)=cosacosb-sinasinb$，将其代入sinx+cosx中即可得到上述式子。

相关问题

sinx+cosx的频谱

首先，我们可以将 $sin(x)+cos(x)$ 表示为 $A\cdot sin(x+\phi)$ 的形式，其中 $A$ 是振幅，$\phi$ 是相位。

将 $sin(x)+cos(x)$ 化简得到：

$sin(x)+cos(x)=\sqrt{2}\cdot sin(x+\frac{\pi}{4})$

因此，$A=\sqrt{2}$，$\phi=\frac{\pi}{4}$。

接下来，我们可以对 $sin(x+\frac{\pi}{4})$ 进行傅里叶变换，得到它的频谱。傅里叶变换公式如下：

$F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx$

其中，$f(x)$ 是原函数，$\omega$ 是角频率，$i$ 是虚数单位。

将 $sin(x+\frac{\pi}{4})$ 代入傅里叶变换公式，得到：

$F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}sin(x+\frac{\pi}{4})e^{-i\omega x}dx$

使用欧拉公式 $e^{-ix}=cos(x)-isin(x)$，将 $sin(x+\frac{\pi}{4})$ 转化为 $e^{i(x+\frac{\pi}{4})}-e^{-i(x+\frac{\pi}{4})}$，得到：

$F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}(e^{i(x+\frac{\pi}{4})}-e^{-i(x+\frac{\pi}{4})})e^{-i\omega x}dx$

化简后得到：

$F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{ix(\frac{\pi}{4}-\omega)}dx - \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ix(\frac{\pi}{4}+\omega)}dx$

根据傅里叶变换的性质，我们可以得到：

$F(\omega)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}(\delta(\omega-\frac{\pi}{4})-\delta(\omega+\frac{\pi}{4}))$

其中，$\delta(x)$ 是狄拉克 $\delta$ 函数，表示一个脉冲信号，它在 $x=0$ 处取值为无穷大，且在其他位置取值为 0。

因此，$sin(x)+cos(x)$ 的频谱为：

$\sqrt{\frac{2}{\pi}}(\delta(\omega-\frac{\pi}{4})-\delta(\omega+\frac{\pi}{4}))$

1/（sinx+cosx)的不定积分

这是一个比较复杂的积分，需要用到三角代换。

首先，我们可以把分母中的 $sinx+cosx$ 看作是一个整体，可以用 $\sqrt{2}sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ 来代替。

则原式可以变形为：

$$\int \frac{1}{\sqrt{2}sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}dx$$

接下来，我们进行三角代换，令 $t = x+\frac{\pi}{4}$，则有：

$$x=t-\frac{\pi}{4}$$

$$dx=dt$$

同时，我们可以利用三角恒等式将分母中的 $sin(t)$ 转化为 $cos(t)$：

$$\sqrt{2}sin(t)=\sqrt{2}sin(t)cos\frac{\pi}{4}+\sqrt{2}cos(t)sin\frac{\pi}{4}=cos(t)+sin(t)$$

代入原式，得到：

$$\int \frac{1}{cos(t)+sin(t)}dt$$

接下来，我们进行分式分解，将分母分解为 $(1+sin(t))cos(t)$，得到：

$$\int \frac{1}{(1+sin(t))cos(t)}dt$$

接下来，我们进行部分分式分解，假设原式可以表示为：

$$\int \frac{A}{1+sin(t)}dt+\int \frac{B}{cos(t)}dt$$

将上式通分，得到：

$$\frac{Acos(t)+B(1+sin(t))}{cos(t)(1+sin(t))}$$

与原式比较系数，得到：

$$A-B=1$$

$$B=1$$

解得 $A=2$。

因此，原式的不定积分为：

$$2ln|tan\frac{t}{2}|+ln|cos(t)|+C$$

将 $t$ 代回 $x$，得到：

$$2ln|\frac{tan\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}{\sqrt{2}}|+ln|\frac{cos(x)}{\sqrt{2}}|+C$$

其中，$C$ 为积分常数。