详细解答一下(x-xcosx)/(sinx-xcosx)的不定积分
时间: 2024-05-19 15:13:48 浏览: 9
我们可以将分子和分母都除以cosx,得到:
$$
\frac{x-x\cos x}{\sin x - \cos x} = \frac{x}{\cos x} - \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{x}{\sin x - \cos x}
$$
对于第一项$\frac{x}{\cos x}$,可以直接使用$x\ln|\sec x + \tan x| + C$的公式求出其不定积分,其中$C$为常数。
对于第二项$\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{x}{\sin x - \cos x}$,我们可以尝试使用部分分式分解来求其不定积分。
首先,将$\frac{\sin x}{\cos x}$拆开成$\tan x$和$\sec x$:
$$
\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x - \sec x
$$
将上式代入$\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{x}{\sin x - \cos x}$,得到:
$$
\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{x}{\sin x - \cos x} = \frac{x(\tan x - \sec x)}{\tan x - \sec x \cdot \cos x}
$$
将$\tan x - \sec x \cdot \cos x$拆开成$\frac{\sin x}{\cos x} - 1$,得到:
$$
\frac{x(\tan x - \sec x)}{\tan x - \sec x \cdot \cos x} = \frac{x(\tan x - \sec x)}{\frac{\sin x}{\cos x} - 1}
= \frac{x(\tan x - \sec x)}{\frac{\sin x - \cos x}{\cos x}}
= x\cdot \frac{\tan x - \sec x}{\frac{\sin x - \cos x}{\cos^2 x}}
$$
将上式右侧的分式拆开,得到:
$$
x\cdot \frac{\tan x - \sec x}{\frac{\sin x - \cos x}{\cos^2 x}} = x\cdot \frac{\tan x}{\frac{\sin x - \cos x}{\cos^2 x}} - x\cdot \frac{\sec x}{\frac{\sin x - \cos x}{\cos^2 x}}
$$
对于第一项$x\cdot \frac{\tan x}{\frac{\sin x - \cos x}{\cos^2 x}}$,我们可以使用$\ln|\sin x|$的公式求出其不定积分。具体来说,将$\sin x$拆开成$\frac{\sin x - \cos x}{\sin x - \cos x}$,得到:
$$
x\cdot \frac{\tan x}{\frac{\sin x - \cos x}{\cos^2 x}} = x\cdot \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{\sin x - \cos x}{\cos^2 x}}
= x\cdot \frac{\frac{\sin x - \cos x}{\cos x}}{\frac{\sin x - \cos x}{\cos x} \cdot \frac{\sin x - \cos x}{\cos^2 x}}
= -x\cdot \frac{1}{\sin x - \cos x} - \frac{x}{\cos x}\ln|\sin x|
$$
对于第二项$x\cdot \frac{\sec x}{\frac{\sin x - \cos x}{\cos^2 x}}$,我们可以将$\sec x$拆开成$\frac{1}{\cos x}$,得到:
$$
x\cdot \frac{\sec x}{\frac{\sin x - \cos x}{\cos^2 x}} = x\cdot \frac{\frac{1}{\cos x}}{\frac{\sin x - \cos x}{\cos^2 x}}
= x\cdot \frac{\cos x}{\sin x - \cos x}
$$
综上所述,原式的不定积分为:
$$
\int \frac{x-x\cos x}{\sin x - \cos x} dx = x\ln|\sec x + \tan x| -x\cdot \frac{1}{\sin x - \cos x} - \frac{x}{\cos x}\ln|\sin x| + C
$$
其中$C$为常数。
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