求极限：当x趋于0时，[(1+x)^(1/x)-e^(cosx)]/[(1+x)^(1/3)-1]等于多少

首先，可以将分子中的指数函数用自然对数表示：$(1+x)^{1/x}=e^{\ln(1+x)^{1/x}}=e^{\frac{1}{x}\ln(1+x)}$。然后，我们利用泰勒展开式将$\ln(1+x)$展开到二阶项：$\ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+O(x^3)$。代入上式得到：

$$(1+x)^{1/x}=e^{\frac{1}{x}(x-\frac{1}{2}x^2+O(x^3))}=e^{1-\frac{1}{2}x+O(x^2)}$$

注意到当$x$趋近于0时，$O(x^2)$是比$O(x^3)$更高阶的无穷小项，可以忽略不计。因此，

$$(1+x)^{1/x}\approx e^{1-\frac{1}{2}x}$$

接下来，我们将分母中的$1-x$替换为$(-x)$，并将分子中的$e^{\cos x}$替换为$1+\cos x+O(x^2)$（利用泰勒展开式）。然后，我们将分子和分母同时乘以$(1+x)^{1/3}$，得到：

$$\begin{aligned}\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^{1/x}-e^{\cos x}}{(1-x)^{1/3}-1}&=\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^{1/x}(1+\cos x)-e^{\cos x}(1+x)^{1/3}}{(1+x)^{1/3}-1}\\&=\lim_{x\to 0}\frac{e^{1-\frac{1}{2}x}(1+x)(1+\cos x)-e^{1+\cos x}(1+x)^{1/3}}{(1+x)^{1/3}-1}\\&=\lim_{x\to 0}\frac{e(1+x)(1+\cos x)-e(1+x)^{1/3}}{(1+x)^{1/3}-1}\cdot\frac{e^{-\frac{1}{2}x}}{e^{-\frac{1}{2}x}}\\&=\lim_{x\to 0}\frac{e(1+x)(1+\cos x)-e(1+x)^{1/3}}{(1+x)^{1/3}-1}\cdot e^{-\frac{1}{2}x}\\&=\lim_{x\to 0}\frac{e(1+x)(1+\cos x)-e(1+x)^{1/3}}{x^{1/3}}\cdot\frac{x^{1/3}}{(1+x)^{1/3}-1}\cdot e^{-\frac{1}{2}x}\\&=\lim_{x\to 0}\frac{e(1+x)(1+\cos x)-e(1+x)^{1/3}}{x}\cdot\frac{x}{(1+x)^{1/3}-1}\cdot e^{-\frac{1}{2}x}\cdot\frac{x^{2/3}}{x}\\&=\frac{2e}{3}\cdot 1\cdot 1\cdot 0\\&=\boxed{0}\end{aligned}$$