考研数学笔记：高等数学核心知识点精讲

"高数高分笔记总结.pdf" 这篇高数高分笔记主要涵盖了考研数学中的高等数学部分，由杨凯钧编辑整理。笔记详细讲解了函数的概念、无穷小的比较、求极限的方法等多个核心知识点，旨在帮助考生深入理解和掌握高等数学的基础理论。 一、函数的概念 在高等数学中，函数是一个基本概念，它描述了两个集合之间的特定关系。例如，通过下限和上限积分可以定义函数。当给定函数()tfx，在0到x的区间上积分，可以得到函数()xf。如果函数()tfx在指定区间内连续，那么可以对积分进行微元替换，如(2)所示，将变量t替换为可导的函数()1xϕ和()2xϕ，然后利用微元替换公式计算积分。 二、无穷小的比较 无穷小是比较分析的重要工具，用于衡量函数在某一点的极限趋近于零的速度。笔记中列举了三种类型的比较： 1. 高阶无穷小：如果当x趋于0时，()xgf和()xgx都趋于0，且()xg的极限是0，而()xf的极限是l≠0，那么()xg是比()xf高阶的无穷小，记作()()0gfx=。 2. 同阶无穷小：如果()xgf和()xgx都是比某个非零常数l更高阶的无穷小，即它们的极限都是0，那么它们是同阶无穷小。 3. 等价无穷小：当x趋于0时，如果()xgf和()xgx的极限都是1，那么它们是等价无穷小，记作()()~xgfx。 三、常见的等价无穷小 笔记中给出了几组常见的等价无穷小，例如当x趋近于0时： - x与sinx是等价无穷小。 - x与tanx是等价无穷小。 - x与arcsinx是等价无穷小。 - x与arctanx是等价无穷小。 - (1-x)^1/2与cosx - 1是等价无穷小。 - ex - 1与x是等价无穷小。 - ln(1+x)与x是等价无穷小。 - (1+x)^α - 1与αx是等价无穷小（α为常数）。 四、求极限的方法 求解极限是高等数学中的基础技能，笔记中提到了几种常用方法： 1. 四则运算法则和幂指数运算法则：极限的加减乘除运算以及指数运算可以直接应用到函数的极限上。 2. 准则1（单调有界数列极限存在准则）：如果数列{x_n}是单调且有界的，那么其极限A存在，并且满足一定的不等式关系。 3. 准则2（夹逼定理）：如果函数()xf、()xh和()xg满足()Agx=lim和()Ahx=lim，且()xf在x的两侧被()xg和()xh夹逼，那么()Af=lim也成立。 4. 两个重要公式： - 公式1：1-sinx的极限当x趋于0时等于0，即1-sin(x)~x。 - 公式2：e的自然对数的极限定义，即lim(n->∞)(1+1/n)^n=e，同时e^u的定义是e^u=lim(n->∞)(1+u/n)^n。 这些内容构成了高等数学基础的主体，理解并熟练运用这些知识点对于考研数学的复习至关重要。通过深入学习和实践，考生可以更好地掌握高等数学的核心概念，提高解题能力。