考研数学笔记:高等数学核心知识点精讲
"高数高分笔记总结.pdf" 这篇高数高分笔记主要涵盖了考研数学中的高等数学部分,由杨凯钧编辑整理。笔记详细讲解了函数的概念、无穷小的比较、求极限的方法等多个核心知识点,旨在帮助考生深入理解和掌握高等数学的基础理论。 一、函数的概念 在高等数学中,函数是一个基本概念,它描述了两个集合之间的特定关系。例如,通过下限和上限积分可以定义函数。当给定函数()tfx,在0到x的区间上积分,可以得到函数()xf。如果函数()tfx在指定区间内连续,那么可以对积分进行微元替换,如(2)所示,将变量t替换为可导的函数()1xϕ和()2xϕ,然后利用微元替换公式计算积分。 二、无穷小的比较 无穷小是比较分析的重要工具,用于衡量函数在某一点的极限趋近于零的速度。笔记中列举了三种类型的比较: 1. 高阶无穷小:如果当x趋于0时,()xgf和()xgx都趋于0,且()xg的极限是0,而()xf的极限是l≠0,那么()xg是比()xf高阶的无穷小,记作()()0gfx=。 2. 同阶无穷小:如果()xgf和()xgx都是比某个非零常数l更高阶的无穷小,即它们的极限都是0,那么它们是同阶无穷小。 3. 等价无穷小:当x趋于0时,如果()xgf和()xgx的极限都是1,那么它们是等价无穷小,记作()()~xgfx。 三、常见的等价无穷小 笔记中给出了几组常见的等价无穷小,例如当x趋近于0时: - x与sinx是等价无穷小。 - x与tanx是等价无穷小。 - x与arcsinx是等价无穷小。 - x与arctanx是等价无穷小。 - (1-x)^1/2与cosx - 1是等价无穷小。 - ex - 1与x是等价无穷小。 - ln(1+x)与x是等价无穷小。 - (1+x)^α - 1与αx是等价无穷小(α为常数)。 四、求极限的方法 求解极限是高等数学中的基础技能,笔记中提到了几种常用方法: 1. 四则运算法则和幂指数运算法则:极限的加减乘除运算以及指数运算可以直接应用到函数的极限上。 2. 准则1(单调有界数列极限存在准则):如果数列{x_n}是单调且有界的,那么其极限A存在,并且满足一定的不等式关系。 3. 准则2(夹逼定理):如果函数()xf、()xh和()xg满足()Agx=lim和()Ahx=lim,且()xf在x的两侧被()xg和()xh夹逼,那么()Af=lim也成立。 4. 两个重要公式: - 公式1:1-sinx的极限当x趋于0时等于0,即1-sin(x)~x。 - 公式2:e的自然对数的极限定义,即lim(n->∞)(1+1/n)^n=e,同时e^u的定义是e^u=lim(n->∞)(1+u/n)^n。 这些内容构成了高等数学基础的主体,理解并熟练运用这些知识点对于考研数学的复习至关重要。通过深入学习和实践,考生可以更好地掌握高等数学的核心概念,提高解题能力。
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