如何用矩阵和转置的乘积求特征值

设一个矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda$，对应的特征向量为 $\boldsymbol{v}$。则有：

$$
A\boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v}
$$

两边同时左乘 $\boldsymbol{v}^T$，得到：

$$
\boldsymbol{v}^T A\boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v}^T \boldsymbol{v}
$$

由于 $\boldsymbol{v}^T A\boldsymbol{v}$ 是一个标量，所以其转置等于其本身，即：

$$
(\boldsymbol{v}^T A\boldsymbol{v})^T = \boldsymbol{v}^T A\boldsymbol{v}
$$

因此，我们可以将上述式子变形为：

$$
\boldsymbol{v}^T A\boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v}^T \boldsymbol{v} = \lambda ||\boldsymbol{v}||^2
$$

其中 $||\boldsymbol{v}||^2 = \boldsymbol{v}^T \boldsymbol{v}$ 表示向量 $\boldsymbol{v}$ 的模长的平方。由于 $\boldsymbol{v}$ 是非零向量，所以 $||\boldsymbol{v}||^2 > 0$。因此，我们可以得到：

$$
\lambda = \frac{\boldsymbol{v}^T A\boldsymbol{v}}{||\boldsymbol{v}||^2}
$$

这个式子告诉我们，一个矩阵 $A$ 的特征值可以通过将其与一个特征向量相乘，再除以该特征向量的模长的平方来求得。而这个计算过程可以通过矩阵和转置的乘积来实现。具体地，设 $\boldsymbol{v}$ 是 $A$ 的一个特征向量，我们可以先计算 $A\boldsymbol{v}$，然后再计算 $\boldsymbol{v}^T (A\boldsymbol{v})$，最后将其除以 $||\boldsymbol{v}||^2$ 即可求得特征值 $\lambda$。