创建一个Python脚本，命名为test3.py，完成以下功能： （1）生成两个2×2矩阵，并计算矩阵的乘积。 （2）求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量。 （3）设有矩阵 ，试对其进行奇异分解。 （4）设有行列式 ，求其转置行列式 ，并计算 和 。

为了创建一个名为`test3.py`的Python脚本，我们将分别实现上述四个任务。首先，我们需要导入必要的库如`numpy`，用于处理矩阵操作。以下是完整的脚本内容：

import numpy as np

# （1）生成2x2矩阵并计算它们的乘积
def matrix_multiply():
    matrix1 = np.array([[1, 2], [3, 4]])
    matrix2 = np.array([[5, 6], [7, 8]])

    product = np.dot(matrix1, matrix2)
    print("Matrix multiplication:")
    print(product)

# （2）求矩阵的特征值和特征向量
def eigen_decomposition(matrix):
    eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(matrix)
    print("\nEigen decomposition:")
    print("Eigenvalues:", eigenvalues)
    print("Eigenvectors:\n", eigenvectors)

# （3）奇异分解
def singular_value_decomposition(matrix):
    u, s, vh = np.linalg.svd(matrix)
    print("\nSingular Value Decomposition (SVD):")
    print("U:\n", u)
    print("Singular values:\n", s)
    print("Vh:\n", vh)

# （4）行列式的转置和计算
def determinant_transpose(matrix):
    det_original = np.linalg.det(matrix)
    transposed_matrix = matrix.T
    det_transposed = np.linalg.det(transposed_matrix)

    print("\nDeterminant of original matrix:", det_original)
    print("Determinant of transpose:", det_transposed)
    print("Product of determinants:", det_original * det_transposed)

if __name__ == "__main__":
    # 初始化矩阵
    matrix = np.array([[0, -1], [1, 0]])

    # 执行所有操作
    matrix_multiply()
    eigen_decomposition(matrix)
    singular_value_decomposition(matrix)
    determinant_transpose(matrix)

保存这个文件到一个名为`test3.py`的位置，然后你可以通过运行`python test3.py`命令来执行它。