一个行向量与一个列向量的乘积等于这个列向量与行向量乘积的迹

是的，这是一个数学上的基本定理，也被称为“向量内积的交换律”或“矩阵乘积的迹定理”。具体来说，如果 $\boldsymbol{u}$ 是 $1 \times n$ 的行向量，$\boldsymbol{v}$ 是 $n \times 1$ 的列向量，那么它们的乘积 $\boldsymbol{u}\boldsymbol{v}$ 是一个 $1 \times 1$ 的矩阵，其迹就是 $\mathrm{tr}(\boldsymbol{u}\boldsymbol{v})= \boldsymbol{u}\boldsymbol{v}^\top$。同时，$\boldsymbol{v}\boldsymbol{u}$ 也是一个 $1 \times 1$ 的矩阵，其迹为 $\mathrm{tr}(\boldsymbol{v}\boldsymbol{u}) = \boldsymbol{v}\boldsymbol{u}^\top$。根据矩阵迹的定义，我们可以发现 $\mathrm{tr}(\boldsymbol{u}\boldsymbol{v}) = \mathrm{tr}(\boldsymbol{v}\boldsymbol{u})$，即两者的迹相等。

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一个行向量与一个列向量的乘积等于行向量与列向量乘积的迹

是的，这个结论是正确的。假设行向量为 $\boldsymbol{a}$，列向量为 $\boldsymbol{b}$，它们的乘积为 $\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}$，则它们的迹为 $\operatorname{tr}(\boldsymbol{a}\boldsymbol{b})$。因为 $\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}$ 是一个 $1\times 1$ 的矩阵，所以它的迹就是它的唯一元素，即 $\operatorname{tr}(\boldsymbol{a}\boldsymbol{b})=\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}$。另一方面，$\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}$ 的迹也可以表示为 $\boldsymbol{a}^\top\boldsymbol{b}$，因为它们是相等的，所以 $\boldsymbol{a}^\top\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}$。因此，一个行向量与一个列向量的乘积等于行向量与列向量乘积的迹。

为什么一个行向量与一个列向量的乘积等于行向量与列向量乘积的迹

设行向量为 $\boldsymbol{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$，列向量为 $\boldsymbol{b}=(b_1,b_2,\cdots,b_n)^T$，则它们的乘积为 $\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}=(a_1b_1,a_2b_2,\cdots,a_nb_n)$。

行向量与列向量的乘积的迹是 $\mathrm{Tr}(\boldsymbol{a}\boldsymbol{b})=\sum_{i=1}^n(a_ib_i)$。

由于矩阵的迹运算与矩阵的转置操作可以交换，即 $\mathrm{Tr}(\boldsymbol{a}\boldsymbol{b})=\mathrm{Tr}((\boldsymbol{a}\boldsymbol{b})^T)=\mathrm{Tr}(\boldsymbol{b}^T\boldsymbol{a}^T)=\sum_{i=1}^n(a_ib_i)$。

所以，行向量与列向量的乘积等于行向量与列向量乘积的迹。