为什么一个行向量与一个列向量的乘积等于列向量与行向量乘积的迹

一个行向量与一个列向量的乘积等于列向量与行向量乘积的迹，这个结论是不正确的。

事实上，行向量 $\boldsymbol{a}$ 和列向量 $\boldsymbol{b}$ 的乘积 $\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}$ 是一个 $1\times 1$ 的矩阵，它只有一个元素，即 $\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n$。

而列向量 $\boldsymbol{b}$ 和行向量 $\boldsymbol{a}$ 的乘积 $\boldsymbol{b}\boldsymbol{a}$ 是一个 $n\times n$ 的矩阵，其第 $i$ 行第 $j$ 列的元素为 $b_ia_j$。因此，列向量 $\boldsymbol{b}$ 和行向量 $\boldsymbol{a}$ 的乘积的迹为 $\mathrm{Tr}(\boldsymbol{b}\boldsymbol{a})=\sum_{i=1}^n(b_ia_i)$。

两者不相等，因此一个行向量与一个列向量的乘积不等于列向量与行向量乘积的迹。

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为什么一个行向量与一个列向量的乘积等于行向量与列向量乘积的迹

设行向量为 $\boldsymbol{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$，列向量为 $\boldsymbol{b}=(b_1,b_2,\cdots,b_n)^T$，则它们的乘积为 $\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}=(a_1b_1,a_2b_2,\cdots,a_nb_n)$。

行向量与列向量的乘积的迹是 $\mathrm{Tr}(\boldsymbol{a}\boldsymbol{b})=\sum_{i=1}^n(a_ib_i)$。

由于矩阵的迹运算与矩阵的转置操作可以交换，即 $\mathrm{Tr}(\boldsymbol{a}\boldsymbol{b})=\mathrm{Tr}((\boldsymbol{a}\boldsymbol{b})^T)=\mathrm{Tr}(\boldsymbol{b}^T\boldsymbol{a}^T)=\sum_{i=1}^n(a_ib_i)$。

所以，行向量与列向量的乘积等于行向量与列向量乘积的迹。

一个行向量与一个列向量的乘积等于行向量与列向量乘积的迹

这个问题涉及到线性代数中的向量和矩阵乘法。设行向量为 $\mathbf{a}$，列向量为 $\mathbf{b}$，则它们的乘积为 $\mathbf{a} \mathbf{b}$，结果是一个 $1 \times 1$ 的矩阵，即一个标量。这个标量可以表示为 $\sum_i a_i b_i$，其中 $a_i$ 和 $b_i$ 分别是 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的第 $i$ 个元素。

另一方面，行向量与列向量乘积的迹是 $\mathrm{tr}(\mathbf{a} \mathbf{b})$，其中 $\mathrm{tr}$ 表示矩阵的迹运算，即矩阵对角线上元素的和。由于 $\mathbf{a} \mathbf{b}$ 是一个 $1 \times 1$ 的矩阵，因此它的迹就等于它的唯一元素，即 $\mathbf{a} \mathbf{b}$ 的值，也即前面提到的标量 $\sum_i a_i b_i$。

因此，一个行向量与一个列向量的乘积等于行向量与列向量乘积的迹。