线性无关证明方法矩阵的秩法

矩阵的秩可以通过行列式或高斯消元法来求解，这里给出高斯消元法的证明。

假设有一个 $m \times n$ 的矩阵 $A$，我们将其进行高斯消元，得到一个上三角矩阵 $U$。高斯消元的过程中，我们进行了一系列初等行变换，这些变换不会改变矩阵的秩。因此，$A$ 和 $U$ 的秩相同。

现在我们来证明 $U$ 的秩等于它的主对角线上非零元素的个数。设 $r$ 为 $U$ 的秩，$a_{ii}$ 表示 $U$ 的第 $i$ 行第 $i$ 列元素。我们来证明以下两个命题：

1. $r \leq$ 主对角线上非零元素的个数。

证明：我们可以通过一系列初等行变换将 $U$ 转化为一个更简单的形式，使得主对角线上只有非零元素。具体来说，我们从第一行开始，依次对每一行进行以下操作：

- 如果该行所有元素都为零，则将该行移到矩阵的下面。
- 否则，找到该行第一个非零元素 $a_{ij}$，交换第 $i$ 行和第 $j$ 行，使得 $a_{ij}$ 成为该行的第一个元素。然后，将第 $i$ 行上面的所有行都减去一个适当的倍数，使得第 $i$ 行上面的所有元素都变为零。

经过这样的操作之后，我们可以得到一个与 $U$ 行等价的上三角矩阵 $T$，其主对角线上只有非零元素。显然，$T$ 的秩就是主对角线上非零元素的个数，因此 $r \leq$ 主对角线上非零元素的个数。

2. $r \geq$ 主对角线上非零元素的个数。

证明：我们可以通过数学归纳法来证明此命题。当 $m = 1$ 或 $n = 1$ 时，显然有 $r = 1$，主对角线上非零元素的个数也为 $1$，命题成立。假设命题对于 $m-1 \times n$ 和 $m \times n-1$ 的矩阵都成立，现在考虑一个 $m \times n$ 的矩阵。

如果 $a_{11} \neq 0$，则可以通过一系列初等行变换将 $U$ 转化为如下形式：

$$
\begin{pmatrix}
a_{11} & * & * & \cdots & * \\
0 & & & & \\
0 & & U' & & \\
\vdots & & & & \\
0 & & & & \\
\end{pmatrix}
$$

其中 $U'$ 是一个 $(m-1) \times (n-1)$ 的矩阵。根据归纳假设，$U'$ 的秩不小于其主对角线上非零元素的个数，因此 $r \geq 1 + \text{秩}(U') \geq$ 主对角线上非零元素的个数。

如果 $a_{11} = 0$，则将第 $1$ 行与第一个不全为零的行进行交换，然后再进行一次高斯消元。由于 $a_{11} = 0$，因此交换后新的第 $1$ 行必定不全为零。根据归纳假设，新的上三角矩阵的秩不小于其主对角线上非零元素的个数，因此 $r \geq$ 主对角线上非零元素的个数。

综上所述，$r =$ 主对角线上非零元素的个数，因此 $A$ 和 $U$ 的秩相同，也等于 $U$ 的主对角线上非零元素的个数。如果 $A$ 的秩等于列数 $n$，则 $A$ 的各列线性无关。