两个线性无关的矩阵相乘得到的矩阵一定线性无关吗

是的，两个线性无关的矩阵相乘得到的矩阵也一定是线性无关的。这是因为，如果两个矩阵A和B是线性无关的，那么它们所对应的线性变换也是线性无关的。当这两个线性变换相乘时，得到的结果也是一个线性变换，且该线性变换的矩阵就是AB。由于线性变换的复合仍然是线性变换，因此AB对应的线性变换也是线性无关的，因此AB的矩阵也是线性无关的。

相关问题

一个矩阵满秩且秩为n另一个矩阵的秩是n-1那么这个两个矩阵相乘得到的矩阵的秩是多少

设矩阵A的大小为n×n，秩为n，矩阵B的大小为n×m，秩为n-1。则AB的秩不一定固定，而是有取值范围。

根据矩阵秩的性质，有rank(AB) ≤ min{rank(A), rank(B)}。因为矩阵A满秩，所以rank(A)=n，因此rank(AB)≤n-1。

另一方面，根据矩阵秩的定义，矩阵的秩等于其最大线性无关列向量组成的矩阵的秩。设矩阵A的列向量为a1, a2, ..., an，矩阵B的列向量为b1, b2, ..., bm。则AB的列向量可以表示为{A×b1, A×b2, ..., A×bm}。因为矩阵B的秩为n-1，所以b1, b2, ..., bm中必然存在一组线性相关的列向量，不妨设为b1, b2, ..., bk（k ≤ n-1）。则AB的列向量组成的矩阵中，第k列可以表示为：

A×bk = A×(b1+c2+b3+...+ck)

其中c2, c3, ..., ck是b2, b3, ..., bk的线性组合。因为A满秩，所以A×(b1+c2+b3+...+ck)与b1, b2, ..., bk线性相关。因此，AB的列向量组成的矩阵中，第k列可以表示为前k-1列的线性组合。因此，AB的秩最大为n-1。

综上所述，0 ≤ rank(AB) ≤ n-1。具体取决于矩阵B的列向量是否与矩阵A的列向量线性相关。

用C语言编写一个矩阵相乘的程序

### 回答1：
好的，那么首先我们需要了解什么是矩阵，矩阵是一种数学概念，用来表示多个数字的组合，通常被表示成多行多列的数字表格。矩阵相乘是一种数学运算，它的结果是两个输入矩阵的乘积，乘积矩阵的大小由两个输入矩阵的大小决定。

下面是一个矩阵相乘的程序的例子，它使用了C语言：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int main()
{
  int m, n, p, q, c, d, k, sum = 0;
  int first[10][10], second[10][10], multiply[10][10];

  printf("Enter the number of rows and columns of first matrix\n");
  scanf("%d%d", &m, &n);

  printf("Enter the elements of first matrix\n");
  for (c = 0; c < m; c++)
    for (d = 0; d < n; d++)
      scanf("%d", &first[c][d]);

  printf("Enter the number of rows and columns of second matrix\n");
  scanf("%d%d", &p, &q);

  if (n != p)
    printf("The matrices can't be multiplied with each other.\n");
  else
  {
    printf("Enter the elements of second matrix\n");
    for (c = 0; c < p; c++)
      for (d = 0; d < q; d++)
        scanf("%d", &second[c][d]);

    for (c = 0; c < m; c++) {
      for (d = 0; d < q; d++) {
        for (k = 0; k < p; k++) {
          sum = sum + first[c][k]*second[k][d];
        }
        multiply[c][d] = sum;
        sum = 0;
      }
    }

    printf("Product of the matrices:\n");
    for (c = 0; c < m; c++) {
      for (d = 0; d < q; d++)
        printf("%d\t", multiply[c][d]);
      printf("\n");
    }
  }

  return 0;
}

这个程序首先会读入两个矩阵的大小，

### 回答2：
矩阵相乘是线性代数中一个重要的运算，我们可以用C语言编写一个矩阵相乘的程序。以下是一个示例代码：

#include <stdio.h>

#define MAX_SIZE 10

void matrixMult(int A[][MAX_SIZE], int B[][MAX_SIZE], int C[][MAX_SIZE], int m, int n, int p) {
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        for (int j = 0; j < p; j++) {
            C[i][j] = 0;
            for (int k = 0; k < n; k++) {
                C[i][j] += A[i][k] * B[k][j];
            }
        }
    }
}

void printMatrix(int matrix[][MAX_SIZE], int rows, int columns) {
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        for (int j = 0; j < columns; j++) {
            printf("%d ", matrix[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
}

int main() {
    int A[MAX_SIZE][MAX_SIZE], B[MAX_SIZE][MAX_SIZE], C[MAX_SIZE][MAX_SIZE];
    int m, n, p;

    printf("请输入矩阵A的行数和列数（以空格分隔）：");
    scanf("%d %d", &m, &n);

    printf("请输入矩阵B的行数和列数（以空格分隔）：");
    scanf("%d %d", &n, &p);

    printf("请输入矩阵A的元素：\n");
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            scanf("%d", &A[i][j]);
        }
    }

    printf("请输入矩阵B的元素：\n");
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < p; j++) {
            scanf("%d", &B[i][j]);
        }
    }

    matrixMult(A, B, C, m, n, p);

    printf("矩阵相乘的结果C为：\n");
    printMatrix(C, m, p);

    return 0;
}

这段程序首先通过用户输入获取两个矩阵A和B的行数和列数。然后，依次输入矩阵A和矩阵B的元素。接下来，调用`matrixMult()`函数实现矩阵相乘，并将结果存储在矩阵C中。最后，调用`printMatrix()`函数打印出矩阵C的元素，即矩阵相乘的结果。

### 回答3：
矩阵相乘是一个常见的线性代数运算，我们可以用C语言编写一个程序来实现它。

首先，我们需要定义两个矩阵，分别为矩阵A和矩阵B。我们可以使用二维数组来表示两个矩阵。

然后，我们需要定义一个新的矩阵来保存矩阵A和矩阵B相乘的结果，我们称之为矩阵C。矩阵C的行数等于矩阵A的行数，列数等于矩阵B的列数。

接下来，我们可以通过两层嵌套的循环来进行矩阵相乘的计算。外层循环控制矩阵A的行，内层循环控制矩阵B的列。在每次循环中，我们对矩阵A的当前行和矩阵B的当前列进行对应元素的乘法运算，并将结果累加到矩阵C的相应位置上。

完成矩阵相乘的计算后，我们可以输出矩阵C的结果。按照行优先的顺序输出矩阵C的元素即可。

下面是一个简单的示例代码：

#include <stdio.h>

#define ROW_A 2
#define COL_A 3
#define ROW_B 3
#define COL_B 2

void matrix_multiply(int A[ROW_A][COL_A], int B[ROW_B][COL_B], int C[ROW_A][COL_B]) {
    for (int i = 0; i < ROW_A; i++) {
        for (int j = 0; j < COL_B; j++) {
            int sum = 0;
            for (int k = 0; k < COL_A; k++) {
                sum += A[i][k] * B[k][j];
            }
            C[i][j] = sum;
        }
    }
}

void print_matrix(int matrix[ROW_A][COL_B]) {
    for (int i = 0; i < ROW_A; i++) {
        for (int j = 0; j < COL_B; j++) {
            printf("%d ", matrix[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
}

int main() {
    int A[ROW_A][COL_A] = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}};
    int B[ROW_B][COL_B] = {{7, 8}, {9, 10}, {11, 12}};
    int C[ROW_A][COL_B];

    matrix_multiply(A, B, C);
    print_matrix(C);

    return 0;
}

上述代码中，我们定义了两个二维数组A和B，并初始化了它们的元素。然后，我们定义了一个新的二维数组C，并调用`matrix_multiply`函数来计算矩阵相乘的结果，并将结果保存在数组C中。最后，我们调用`print_matrix`函数来输出矩阵C的结果。

以上是一个简单的矩阵相乘的C语言程序。当然，实际的程序可能需要更复杂的输入和输出处理，这个程序只是一个简单的示例。