f(x)=sin πx, 试给出[0,1] 区间上的伯恩斯坦多项式 Bn(f, x), n=1~3

伯恩斯坦多项式是一种基于插值的多项式，可以用来逼近给定函数。在[0,1]区间上，伯恩斯坦多项式可以表示为：

- B1(f, x) = f(0) + x(f(1) - f(0))
- B2(f, x) = (1-x)B1(f, x) + x(f(1))
- B3(f, x) = (1-x)^2B1(f, x) + 2x(1-x)B2(f, x) + x^2(f(1))

将函数f(x)=sin(πx)代入上述公式，可以得到:

- B1(f, x) = 0 + x(sin(π) - 0) = sin(πx)
- B2(f, x) = (1-x)sin(0) + x(sin(π)) = sin(πx)
- B3(f, x) = (1-x)^2sin(0) + 2x(1-x)sin(π/2) + x^2sin(π) = 4x(1-x)

因此，[0,1]区间上的伯恩斯坦多项式 Bn(f, x) 分别为：

- B1(f, x) = sin(πx)
- B2(f, x) = sin(πx)
- B3(f, x) = 4x(1-x)

相关问题

opengl绘制伯恩斯坦曲线

伯恩斯坦曲线（Bézier Curve）是一种常用于计算机图形学中的曲线，可以用来描述平滑的曲线。OpenGL提供了一个名为“glMap1”的函数，可以用来绘制伯恩斯坦曲线。下面是一个简单的例子：

// 控制点数组
GLfloat ctrlpoints[4][3] = {
    {-4.0, -4.0, 0.0}, {-2.0, 4.0, 0.0},
    {2.0, -4.0, 0.0}, {4.0, 4.0, 0.0}
};

void display() {
    glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);
    glColor3f(1.0, 1.0, 1.0);

    // 开启映射
    glEnable(GL_MAP1_VERTEX_3);
    glMap1f(GL_MAP1_VERTEX_3, 0.0, 1.0, 3, 4, &ctrlpoints[0][0]);

    // 绘制曲线
    glBegin(GL_LINE_STRIP);
    for (int i = 0; i <= 30; i++) {
        glEvalCoord1f((GLfloat) i / 30.0);
    }
    glEnd();

    glFlush();
}

int main(int argc, char** argv) {
    glutInit(&argc, argv);
    glutInitDisplayMode(GLUT_SINGLE | GLUT_RGB);
    glutInitWindowSize(400, 400);
    glutCreateWindow("Bezier Curve Example");

    glClearColor(0.0, 0.0, 0.0, 0.0);
    glMatrixMode(GL_PROJECTION);
    glLoadIdentity();
    gluOrtho2D(-5.0, 5.0, -5.0, 5.0);
    glMatrixMode(GL_MODELVIEW);

    glutDisplayFunc(display);
    glutMainLoop();

    return 0;
}

这个例子绘制了一个四次伯恩斯坦曲线，控制点数组中包含了四个三维点。在`display`函数中，我们先开启了`GL_MAP1_VERTEX_3`映射，并将控制点数组传递给OpenGL。然后我们使用`glBegin(GL_LINE_STRIP)`函数开始绘制线段，使用`glEvalCoord1f`函数对曲线进行采样，并在循环中逐个绘制采样点。最后使用`glEnd`函数结束绘制。

你可以根据自己的需要修改控制点数组，绘制不同的伯恩斯坦曲线。