设二维连续型随机变量(X ,Y) 的联合概率密度为 6 , 0 1 ( , ) 0,x x y f x y        其他 则 P(X Y 1) 

要计算二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度函数下的事件P(X+Y≤1)，我们需要利用给定的联合密度函数f(x,y)并应用二维积分。由于题目给出了密度函数在0到x和0到y范围内的部分，我们可以按照以下步骤来计算：

\[ P(X + Y \leq 1) = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{1-x} f(x, y) dy dx \]

由于密度函数只在\(0 \leq x, y \leq 1\)时非零，所以积分区间应限制在这个范围内。具体地，

\[ P(X + Y \leq 1) = \int_0^1 \int_0^{1-x} 6dy dx \]

现在我们计算这个二重积分[^1]。

P(X + Y ≤ 1) = \[\int_0^1 6\int_0^{1-x} dy dx\]
= \[\int_0^1 6[(1-x)-0]\ dx\]
= \[\int_0^1 6(1-x)\ dx\]
= \[6 \cdot \left[x - \frac{x^2}{2}\right]_0^1\]
= \[6 \cdot (1 - \frac{1}{2})\]
= \[6 \cdot \frac{1}{2}\]
= 3

因此，\[ P(X + Y \leq 1) = 3 \]。

相关问题

二维连续型随机变量及其联合概率密度

二维连续型随机变量是指有两个随机变量 $X$ 和 $Y$，它们可以取到的值是连续的。它们的联合概率密度函数（Joint Probability Density Function，简称联合概率密度）是 $f_{X,Y}(x,y)$，表示同时取到 $X=x$ 和 $Y=y$ 的概率密度。

在二维连续型随机变量中，我们经常需要计算一些概率和期望值。其中，联合概率密度函数的积分可以得到概率：

$$ P(a\leq X\leq b, c\leq Y\leq d)=\int_a^b\int_c^d f_{X,Y}(x,y)dydx $$

同时，我们也可以计算 $X$ 和 $Y$ 的边缘概率密度函数（Marginal Probability Density Function）。分别为：

$$ f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dy $$

$$ f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dx $$

边缘概率密度函数是联合概率密度函数在某个维度上的积分。它们分别表示 $X$ 和 $Y$ 单独取到某个值的概率密度。

此外，我们还可以计算 $X$ 和 $Y$ 的协方差（Covariance）和相关系数（Correlation Coefficient）。它们分别为：

$$ Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))] $$

$$ \rho_{X,Y} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}} $$

其中，$E(X)$ 和 $E(Y)$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的期望值，$Var(X)$ 和 $Var(Y)$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的方差。协方差和相关系数可以用来描述 $X$ 和 $Y$ 之间的关系，其中相关系数的取值范围在 $[-1,1]$ 之间。如果 $\rho_{X,Y} > 0$，则 $X$ 和 $Y$ 为正相关；如果 $\rho_{X,Y} < 0$，则 $X$ 和 $Y$ 为负相关；如果 $\rho_{X,Y} = 0$，则 $X$ 和 $Y$ 为不相关。

二维连续型随机变量的期望

对于二维连续型随机变量 $(X,Y)$，它的期望可以表示为：

$$\operatorname{E}(X,Y)=\iint_{\mathbb{R}^2}x f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

其中 $f(x,y)$ 是 $(X,Y)$ 的联合概率密度函数。这个式子的意义是对 $(X,Y)$ 的取值域进行积分求和，每个取值 $(x,y)$ 的权重是 $f(x,y)$，也就是该取值发生的概率。